مسألة اليوم

المستقيمات في الفضاء

أرسلت إشارة لاسلكية من موقع إحداثياته: $(-1,4,5)$ إلى موقع إحداثياته: $(-11,9,15)$. وفي الوقت نفسه، أرسلت إشارة من موقع إحداثياته: $(-5,9,3)$ إلى موقع إحداثياته: $(2,-5,17)$. إذا علمت أن الإشارة تسير في خط مستقيم، فهل يتقاطع مسارا الإشارتين؟

اتجاه مسار الإشارة الأولى: $⟨-11-(-1),9-4,15-5⟩=⟨-10,5,10⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 5 دون التأثير على الاتجاه: ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_1=⟨-2,1,2⟩$

معادلة مسار الأولى: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨-1,4,5⟩+t⟨-2,1,2⟩$

اتجاه مسار الإشارة الثانية: $⟨2-(-5),-5-9,17-3⟩=⟨7,-14,14⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 7 دون التأثير على الاتجاه: ${\overline{\mathrm{v}}}_2=⟨1,-2,2⟩$

معادلة مسار الثانية: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨-5,9,3⟩+u⟨1,-2,2⟩$

نبحث في التقاطع بمساواة متجهي الموقع $\overrightarrow{\mathrm{r}}$:

$\begin{array}{rl}& ⟨-1-2t,4+t,5+2t⟩=⟨-5+u,9-2u,3+2u⟩\\ & -1-2t=-5+u\Rightarrow 2t+u=4\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \left(1\right)\\ & 4+t=9-2u\Rightarrow t+2u=5\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \left(2\right)\\ & 5+2t=3+2u\Rightarrow -2t+2u=2......................\left(3\right)\end{array}$

نحل المعادلتين (1)، و(2) لإيجاد قيم t , u

$\left(1\right)\times 2-\left(2\right)\Rightarrow 3t=3\Rightarrow t=1\Rightarrow u=2$

تفحص تحقق المعادلة (3) عند هذه القيم $t=1,u=2$

$\begin{array}{rl}& -2\left(1\right)+2\left(2\right)\stackrel{?}{=2}\\ & -2+4=2\end{array}$

لإيجاد قيم يتقاطع مسارا الإشارتين عندما يكون $\mathrm{t}=1,\mathrm{u}=2$ ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض هي النقطة $\mathrm{t}=1$ معادلة مسار الإشارة الأولى، فتكون نقطة التقاطع $(-3,5,7)$