اختبار نهاية الوحدة

المتجهات

أختار رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

(1) إذا كانت $A(-3,4,9),B(5,-2,3)$، فإن الصورة الإحداثية للمتجه $\overrightarrow{AB}$ هي:

$⟨-2,2,12⟩$ (a

$\mathbf{⟨}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{⟩}$ (b

$⟨-1,1,6⟩$ (c

$⟨-8,6,-6⟩$ (d

(2) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨2,c,-5⟩$، وكان: $\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=3\sqrt{5}$، فإن c تساوي:

4 (a

3,5- (b

15 (c

4,4- (d

(3) إذا كان PQR مستقيماً، حيث: $PQ:QR=3:1,\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{\mathrm{a}}$، فإن التعبير عن المتجه $\overrightarrow{RQ}$ بدلالة $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ هو:

$\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (a

$\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (b

$\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\overrightarrow{\mathbf{a}}$ (c

$-\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (d

(4) النقطة الواقعة على المستقيم الذي له المعادلة المتجهة: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨4,-2,5⟩+t⟨-2,1,3⟩$، والإحداثـي y لها 10 هي:

$(18,10,28)$ (a

$(28,10,35)$ (b

$(-8,10,20)$ (c

$\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{20}\mathbf{,}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{41}\mathbf{)}$ (d

(5) إذا كان: $\overrightarrow{v}=⟨2,-2,5⟩$، وكان: $\overrightarrow{\mathrm{w}}=⟨-3,4,6⟩$، فإن $3\overrightarrow{\mathrm{v}}-2\overrightarrow{\mathrm{w}}$ يساوي:

$⟨0,2,3⟩$ (a

$\mathbf{⟨}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{14}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{⟩}$ (b

$⟨13,-16,-8⟩$ (c

$⟨-13,16,8⟩$ (d

(6) إذا كان قياس الزاوية بيـن $\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{a}}$ هو ${60}^{\circ }$، وكان: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=30$، وكان: $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=10$، فإن مقدار $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ هو:

3 (a

5 (b

6 (c

24 (d

(7) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨-4,2,a⟩$، وكان: $\overrightarrow{v}=⟨2,b,5⟩$، وكان: $\overrightarrow{\mathrm{u}}\parallel \overrightarrow{\mathrm{v}}$ فإن قيمة a هي:

10- (a

5- (b

1- (c

5 (d

(8) إذا كان المتجه $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 3\end{array}\right)$، والمتجه: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 14\\ q\end{array}\right)$ متعامدين، فإن قيمة q هي:

0 (a

8 (b

10 (c

18 (d

(9) في المثلث المجاور، إذا كان: $\overrightarrow{AB}=3\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}}$، وكان: $\overrightarrow{BC}=-2\hat{\mathrm{i}}+4\hat{\mathrm{j}}+3\hat{\mathrm{k}}$، فأجد قياس الزاوية ABC إلى أقرب عشر درجة.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{BA}=⟨-3,1,-2⟩\Rightarrow \left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\\ & \overrightarrow{BC}=⟨-2,4,3⟩\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}\\ & \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-3(-2)+1\left(4\right)-2\left(3\right)=4\\ & \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{14}\times \sqrt{29}}\right)\approx {78.5}^{\circ }\end{array}$

(10) إذا وقعت النقاط: $E(2,0,4),F(h,5,1),G(3,10,k)$على مستقيم واحد، فما قيمة كل من h  وk؟

E,F,G تقع على استقامة واحدة، إذن $\overrightarrow{EF}\parallel \overrightarrow{FG}$، ومنه:

$⟨h-2,5,-3⟩\parallel ⟨3-h,5,k-1⟩$

إذن، يوجد عدد حقيقي مثل c بحيث:

$\begin{array}{rl}& ⟨h-2,5,-3⟩=c⟨3-h,5,k-1⟩\\ & \Rightarrow 5c=5\Rightarrow c=1\\ & h-2=(3-h)c\Rightarrow h-2=3-h\Rightarrow h=\frac{5}{2}\\ & (k-1)c=-3\Rightarrow k-1=-3\Rightarrow k=-2\end{array}$

(11) إذا كانت $A(3,-2,4),B(1,-5,6),C(-4,5,-1)$، وكانت النقطة D تقع على المستقيم المار بالنقطة A والنقطة B، وكانت الزاوية CDA قائمة، فأجد إحداثيات النقطة D.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨-2,-3,2⟩\\ & \overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨3,-2,4⟩+t⟨-2,-3,2⟩\\ & \Rightarrow \overrightarrow{OD}=⟨3-2t,-2-3t,4+2t⟩\end{array} \\ \begin{array}{rl}\overrightarrow{CD}=⟨3& -2t,-2-3t,4+2t⟩-⟨-4,5,-1⟩=⟨7-2t,-7-3t,5+2t⟩\\ \overrightarrow{CD}\perp \overrightarrow{AB}& \Rightarrow \overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0\\ & \Rightarrow -2(7-2t)-3(-7-3t)+2(5+2t)=0\\ & \Rightarrow t=-1\\ \Rightarrow \overrightarrow{OD}=& ⟨3+2,-2+3,4-2⟩=⟨5,1,2⟩\Rightarrow D(5,1,2)\end{array} \end{gathered}$$

إذا كانت: $\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}\mathbf{\left(}\begin{array}{c}\mathbf{-}\mathbf{2}\\ \mathbf{-}\mathbf{5}\\ \mathbf{9}\end{array}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathit{\lambda }\mathbf{\left(}\begin{array}{c}\mathbf{-}\mathbf{5}\\ \mathbf{0}\\ \mathbf{7}\end{array}\mathbf{\right)}$ معادلة متجهة للمستقيم ${\mathit{l}}_{\mathbf{1}}$، وكانت: $\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}\mathbf{\left(}\begin{array}{c}\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{-}\mathbf{17}\\ \mathbf{5}\end{array}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathit{\mu }\mathbf{\left(}\begin{array}{c}\mathbf{2}\\ \mathbf{4}\\ \mathbf{-}\mathbf{1}\end{array}\mathbf{\right)}$ معادلة متجهة للمستقيم ${\mathit{l}}_{\mathbf{2}}$، فأجيب عن السؤالين الأتبين تباعاً:

(12) أجد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين: $l_1,l_2$.

لإيجاد نقطة التقاطع نساوي $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيمة الوسيطين $\lambda ,\mu$:

$\begin{array}{rl}& ⟨-2-5\lambda ,-5,9+7\lambda ⟩=⟨-3+2\mu ,-17+4\mu ,5-\mu ⟩\\ & -17+4\mu =-5\Rightarrow \mu =3\\ & -2-5\lambda =-3+2\mu \Rightarrow \lambda =-1\end{array}$

وهاتان القيمتان تحققان المعادلة الثالثة الآتية:

$\begin{array}{rl}9+7\lambda & =5-\mu \\ 9+7(-1)& =5-3\\ 2& =2\end{array}$

نجد نقطة تقاطعهما بتعويض $\lambda =-1$ في معادلة $l_1$، وهي النقطة $(3,-5,2)$

(13) أجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين:$l_1,l_2$.

اتجاه المستقيم $l_1$: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨-5,0,7⟩$

اتجاه المستقيم $l_2$: $\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨2,4,-1⟩$

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{u}}=-5\left(2\right)+0+7(-1)=-17\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{25+0+49}=\sqrt{74}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}\end{array}$

لتكن $\theta$ قياس الزاوية بين $\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{u}}$ إذن:

$\theta =co{s}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{u}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{74}\times \sqrt{21}}\right)\approx 115.5^{\circ }$ 

فيكون قياس الزاوية الحادة بين $l_1,l_2$ هو $\alpha$ حيث: $\alpha ={180}^{\circ }-{115.5}^{\circ }={64.5}^{\circ }$

إذا كانت $\mathit{A}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{B}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}$، فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعاً:

(14) أكتب معادلة متجهة للمستقيم $\overleftrightarrow{AB}$.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨2,-4,7⟩\\ & \overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨1,4,-5⟩+t⟨2,-4,7⟩\end{array}$

(15) أكتب معادلة متجهة للمستقيم $\overleftrightarrow{AC}$.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AC}=⟨-5,-3,8⟩\\ & \overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨1,4,-5⟩+u⟨-5,-3,8⟩\end{array}$

(16) إذا كان قياس $\mathrm{\angle }BAC=\theta$، فأثبت أن: $\cos \theta =\frac{58}{7\sqrt{138}}$.

$\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4+16+49}=\sqrt{69}\\ & \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{25+9+64}=\sqrt{98}\\ & \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2(-5)-4(-3)+7\left(8\right)=58\\ & \cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{58}{\sqrt{69}\times \sqrt{98}}=\frac{58}{\sqrt{69\times 49\times 2}}=\frac{58}{7\sqrt{138}}\end{array}$

(17) أجد مساحة المثلث ABC.

$\begin{array}{rl}& \sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{3364}{6762}}=\frac{\sqrt{3398}}{7\sqrt{138}}\\ & \mathrm{Area}\left(ABC\right)=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|\times \left|\overrightarrow{AC}\right|\sin \theta =\frac{1}{2}\times 7\sqrt{138}\times \frac{\sqrt{3398}}{7\sqrt{138}}=\frac{\sqrt{3398}}{2}\end{array}$

(18) إذا كانت: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨3,-25,13⟩+t⟨4,5,-1⟩$ معادلة متجهة للمستقيم l، وكانت النقطة V تقع على المستقيم l، حيث: $l\perp \overline{OV}$ فما إحداثيات النقطة V؟

V نقطة على l إذن يكون متجه موقعها: $\overrightarrow{OV}=⟨3+4t,-25+5t,13-t⟩$

اتجاه l هو: $\overrightarrow{w}=⟨4,5,-1⟩$

وبما أن $l\perp \overline{OV}$ إذن يكون:$\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{OV}=0$ ومنه:

$\begin{array}{rl}& 4(3+4t)+5(-25+5t)-1(13-t)=0\Rightarrow t=3\\ & \Rightarrow \overrightarrow{OV}=⟨3+12,-25+15,13-3⟩\Rightarrow V(15,-10,10)\end{array}$

يمر المستقيم ${\mathit{l}}_{\mathbf{1}}$ بالنقطتين: E وF، ويمر المستقيم ${\mathit{l}}_{\mathbf{2}}$ بالنقطتين: G وH. أحدد إذا كان هذان المستقيمان متوازيين أو متخالفين أو متقاطعين، ثم أجد إحداثيات نقطة التقاطع إذا كانا متقاطعين في كل مما يأتي:

$E(7,6,34),F(5,9,16),G(1,21,-2),H(-13,-14,19)\begin{array}{}\end{array}\begin{array}{}\end{array}$ (19)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{EF}=⟨-2,3,-18⟩\\ & \overrightarrow{GH}=⟨-14,-35,21⟩\end{array}$

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي k يحقق $\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{GH}$ كون النسب بين الإحداثيات المتناظرة غير متساوية، فالمستقيمان غير متوازيين:

معادلة $l_1$ هي: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨7,6,34⟩+t⟨-2,3,-18⟩$

معادلة $l_2$ هي: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨1,21,-2⟩+u⟨-14,-35,21⟩$

نساوي $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيم t,u لمعرفة نقطة التقاطع:

$\begin{array}{rl}& ⟨7-2t,6+3t,34-18t⟩=⟨1-14u,21-35u,-2+21u⟩\\ & 7-2t=1-14u\Rightarrow -2t+14u=-6\dots \dots \dots \dots \dots .\left(1\right)\\ & 6+3t=21-35u\Rightarrow 3t+35u=15\dots \dots \dots \dots \dots .\left(2\right)\\ & 34-18t=-2+21u\Rightarrow 18t+21u=36\dots \dots \dots \dots \text{(3)}\\ & \left(1\right)\times 9+\left(3\right):u=-\frac{6}{49},t=\frac{15}{7}\\ & 3\left(\frac{15}{7}\right)+35(-\frac{6}{49})=2.14\ne 15\end{array}$

هذه القيم لا تحقق المعادلة (2)، إذن المستقيمان ليسا متقاطعين ولا متوازيين، فهما متخالفان.

$E(-3,-5,16),F(12,0,1),G(7,2,11),H(1,-22,23)$ (20)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{EF}=⟨15,5,-15⟩\\ & \overrightarrow{GH}=⟨-6,-24,12⟩\end{array}$

بما أن النسب بين الإحداثيات المتناظرة غير ثابتة، فإنه لا يوجد عدد حقيقي k حيث $\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{GH}$ وهذا يعني أن المستقيمين غير متوازيين.

بتبسيط اتجاه $\overrightarrow{EF}$ بقسمته على 5 تكون معادلته: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨-3,-5,16⟩+t⟨3,1,-3⟩$

بتبسيط اتجاه $\overrightarrow{GH}$ بقسمته على 6 تكون معادلته: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨7,2,11⟩+u⟨-1,-4,2⟩$

نساوي $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيم t,u لمعرفة نقطة التقاطع:

$\begin{array}{rl}& ⟨-3+3t,-5+t,16-3t⟩=⟨7-u,2-4u,11+2u⟩\\ & -3+3t=7-u\Rightarrow 3t+u=10\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & -5+t=2-4u\Rightarrow t+4u=7\dots \dots \dots \dots \dots .\left(2\right)\\ & 16-3t=11+2u\Rightarrow 3t+2u=5\dots \dots \dots \dots .\left(3\right)\\ & \left(3\right)-\left(1\right):u=-5\Rightarrow t=5\end{array}$ 

لكن هذه القيم لا تحقق المعادلة (2)، إذن المستقيمان ليسا متقاطعين ولا متوازيين، فهما متخالفان.

(21) في الشكل الرباعي ABCD الآتي، مد AD على استقامته ليصل إلى النقطة E، حيث: AD=2 DE، إذا كان: $\overrightarrow{DA}=14\overrightarrow{\mathrm{b}}$، وكان: ،$\overrightarrow{DC}=5\overrightarrow{\mathrm{a}}$ وكان: $\overrightarrow{AB}=15\overrightarrow{\mathrm{a}}$، فأثبت أن $B,C,E$ تقع على استقامة واحدة.

$\begin{array}{rl}& AD=2DE\Rightarrow \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DE}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(-14\overrightarrow{\mathrm{b}})=-7\overrightarrow{\mathrm{b}}\\ & \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DC}=7\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ & \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=21\overrightarrow{\mathrm{b}}+15\overrightarrow{\mathrm{a}}=3(7\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{a}})\\ & \Rightarrow \overrightarrow{EB}=3\overrightarrow{EC}\end{array}$

وهذا يعني أن $\overrightarrow{EB}\parallel \overrightarrow{EC}$

لكن المتجهين ينطلقان من النقطة E نفسها، إذن النقاط الثلاثة B,C,E تقع على استقامة واحدة.