إجابات أسئلة كتاب التمارين

المتتاليات والمتسلسلات

أكتب كلًّا مما يأتي من دون استعمال رمز المجموع: أعتمد الشكل المجاور الذي يمثل نمطاً هندسياً، وأجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً:

(1) $\sum _{k = 1}^5\sqrt{k}$

1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ + 2 + $\sqrt{5}$

(2) $\sum _{k = 1}^{9}k(k + 3)$

4 + 10 + 18 + 28 + 40 + 54 + 70 + 88 + 108

(3) $\sum _{k = 1}^4\frac{2k - 1}{2k + 1}$

$\frac{1}{3}$ + $\frac{3}{5}$ + $\frac{5}{7}$ + $\frac{7}{9}$

أعتمد الشكل المجاور الذي يمثل نمطا هندسياً، وأجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعًا:

(4) أكتب الحد العام للمتتالية التي تمثل عدد المربعات المظللة في كل شكل.

a_n = 4n

(5) أكتب باستعمال رمز المجموع متسلسلة يمثل مجموعها عدد المربعات المظللة في أول عشرين شكلًا من هذا النمط، ثم أجد مجموع المتسلسلة.

$\sum _{k = 1}^{20}4k$ = 840

(6) إذا كان طول ضلع كل مربع مظلّل هو وحدة واحدة، فأجد الحد العام للمتتالية التي تمثل مساحة المربعات البيضاء وسط كل شكل.

a_n = (n – 1)²

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي، ثم أجد الحد العشرين منها:

(7) a₆ = -8, a₁₅ = -62

a_n = -6n + 28  ,  a₂₀ = -92

(8) a₁₁ = 43, d = 5

a_n = 5n - 12  ,  a₂₀ = 88

(9) 25, 26.5, 28, 29.5, …

a_n = 1.5n + 23.5  ,  a₂₀ = 53.5

أجد المجاميع الجزئية لكل من المتسلسلات الحسابية الآتية:

(10) الحدود العشرة الأولى من مضاعفات العدد 6

S₁₀ = $\frac{10}{2}$(6 + 60) = 330

(11) أول 100 عدد فردي من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

S₁₀₀ = $\frac{100}{2}$(2(1) + (100 – 1) x 2) = 10000

مسارح: مسرح في صفه الأول 10 مقاعد، وفي صفه الثاني 12 مقعدًا، وفي صفه الثالث 14 مقعدًا، وهكذا حتى الصف الأخير منه :

(12) أبين أنَّ عدد المقاعد في صفوف المسرح يشكل متتالية حسابية.

المتتالية حسابية أساسها 2

14 – 12 = 2  ,  12 – 10 = 2

(13) أجد الحد العام للمتتالية الحسابية.

a_n = 2n + 8

(14) إذا كان في المسرح 14 صفًا من المقاعد، فكم مقعدًا في المسرح؟

S₁₄ = $\frac{14}{2}$(10 + 36) = 322

متسلسلة حسابية مجموع حدودها العشرين الأولى 730، ومجموع حدودها الثلاثين الأولى 1545:

(15) أجد الحد الأول من المتسلسلة.

S₂₀ = 10(2a₁ + 19d) = 730  $\Rightarrow$  2a₁ + 19d = 73

S₃₀ = 15(2a₁ + 29d) = 1545  $\Rightarrow$ 2a₁ + 29d = 103

      $\Rightarrow$ a₁ = 8

(16) ما أساس المتسلسلة؟

d = 3

(17) أجد عدد حدود المتسلسلة التي تقل عن 101

a_n = 3n + 5

3n + 5 < 101  $\Rightarrow$  n < 32

    $\Rightarrow$ n = 31

(18) متتالية حسابية، حدها العاشر ضعف حدّها الرابع، وحدها الثامن عشر 50، أجد الحد الأول من المتتالية، وأبرر إجابتي.

a₁₀ = 2a₄  $\Rightarrow$  a₁ + 9d = 2(a₁ + 3d)

      $\Rightarrow$ a₁ = 3d

a₁₈ = 50  $\Rightarrow$  a₁ + 17d = 50

      $\Rightarrow$ 3d + 17d = 50

      $\Rightarrow$ d = 2.5

      $\Rightarrow$ a₁ = 7.5

متتالية حسابية، فيها الحدان المتتاليان x و y:

(19) أجد الحد التالي للحد y بدلالة x و y.

…, x, y, …

d = y – x

a = y + (y – x) = 2y - x

(20) إذا كان x يمثل الحد الثامن من المتتالية، فأجد الحد الأول بدلالة x و y.

a₈ = a₁ + 7(y – x)   $\Rightarrow$  a₁ = 8x – 7y

x = a₁ + 7(y – x)   $\Rightarrow$  a₁ = 8x – 7y