أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

التكامل بالتعويض

التكامل بالتعويض للتكاملات غير المحدودة

أتحقق من فهمي صفحة (58):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int 6 x^{2} {(2 x^{3} - 3)}^{4} d x$ (a)

$\begin{aligned} \int 6 x^{2} {(2 x^{3} - 3)}^{4} d x \\ u = 2 x^{3} - 3 \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = 6 x^{2} \\ \Rightarrow d x & = \frac{d u}{6 x^{2}} \\ \int 6 x^{2} {(2 x^{3} - 3)}^{4} d x & = \int 6 x^{2} u^{4} \times \frac{d u}{6 x^{2}} \\ = \int u^{4} d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} + C \\ = \frac{1}{5} {(2 x^{3} - 3)}^{5} + C \end{aligned}$

$\int x e^{x^{2} + 1} d x$ (b)

$\begin{aligned} \int x e^{x^{2} + 1} d x \\ u = x^{2} + 1 \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \\ \int x e^{x^{2} + 1} d x = \int x e^{u} \times \frac{d u}{2 x} \\ = \int \frac{1}{2} e^{u} d u \\ = \frac{1}{2} e^{u} + C \\ = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 1} + C \end{aligned}$

$\int \frac{4 x + 8}{\sqrt{2 x^{2} + 8 x}} d x$ (c)

$\begin{aligned} \int \frac{4 x + 8}{\sqrt{2 x^{2} + 8 x}} d x \\ u = 2 x^{2} + 8 x & \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 4 x + 8 \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{4 x + 8} \\ \int \frac{4 x + 8}{\sqrt{2 x^{2} + 8 x}} d x & = \int \frac{4 x + 8}{\sqrt{u}} \times \frac{d u}{4 x + 8} \\ = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int u^{- \frac{1}{2}} d u \\ = 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\ = 2 \sqrt{2 x^{2} + 8 x} + C \end{aligned}$

$\int x e^{x^{2} + 1} d x$ (d)

$\begin{aligned} \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\ u = \ln x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow d x = x d u \\ \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x = \int \frac{u^{2}}{x} \times x d u \\ = \int u^{2} d u \\ = \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = \frac{1}{3} (\ln x)^{3} + C \end{aligned}$

$\int x^{3} \cos (x^{4} - 5) d x$ (e)

$\begin{aligned} \int x^{3} \cos (x^{4} - 5) d x \\ u = x^{4} - 5 \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 4 x^{3} \\ ⟹ d x = \frac{d u}{4 x^{3}} \\ \int x^{3} \cos (x^{4} - 5) d x = \int x^{3} \cos u \times \frac{d u}{4 x^{3}} \\ = \int \frac{1}{4} \cos u d u \\ = \frac{1}{4} \sin u + C \\ = \frac{1}{4} \sin (x^{4} - 5) + C \end{aligned}$

$\int \cos^{4} x \sin x d x$ (f)

$\begin{aligned} \int \cos^{4} x \sin x d x \\ u = \cos x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{- \sin x} \\ \int \cos^{4} x \sin x d x = \int u^{4} \sin x \times \frac{d u}{- \sin x} \\ = \int - u^{4} d u \\ = - \frac{1}{5} u^{5} + C \\ = - \frac{1}{5} \cos^{5} x + C \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (60):

تجارة: يمثل الاقتران $p (x)$ سعر القطعة الواحدة (بالدينار) من منتج معين، حيث $x$ عدد القطع المبيعة (بالمئات) من المنتج، إذا كان $p^{'} (x) = \frac{- 300 x}{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}$ هو معدل التغير في سعر القطعة الواحدة من المنتج، فأجد $p (x)$ ، علماً بأن سعر القطعة الواحدة $JD 75$ عندما يكون عدد القطع المبيعة 800 قطعة.

أولاً نجد تكامل الاقتران:

$\begin{aligned} P (x) = \int \frac{- 300 x}{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}} d x \\ u = 36 + x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \\ P (x) = \int \frac{- 300 x}{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}} d x = \int \frac{- 300 x}{u^{\frac{3}{2}}} \times \frac{d u}{2 x} \\ = - 150 \int u^{- \frac{3}{2}} d u \\ = 300 u^{- \frac{1}{2}} + C \\ = \frac{300}{\sqrt{u}} + C \\ = \frac{300}{\sqrt{36 + x^{2}}} + C \end{aligned}$

بما أن سعر القطعة الواحدة هو 75 ديناراً عندما يكون عدد القطع المبيعة 800 قطعة، إذن $P (8) = 75$ ومنه:

$\begin{aligned} P (x) = \frac{300}{\sqrt{36 + x^{2}}} + C \\ P (8) = \frac{300}{\sqrt{36 + 4^{2}}} + C \\ 75 = \frac{300}{\sqrt{52}} + C \\ C = 75 - \frac{300}{\sqrt{52}} \\ P (x) = \frac{300}{\sqrt{36 + x^{2}}} + 75 - \frac{300}{\sqrt{52}} \end{aligned}$

التكامل بالتعويض للتكاملات المحدودة

أتحقق من فهمي صفحة (62):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{0}^{1} x^{2} {(x^{3} - 1)}^{4} d x$ (a)

$\begin{aligned} \begin{matrix} \int_{0}^{1} x^{2} {(x^{3} - 1)}^{4} d x \\ u = x^{3} - 1 \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 3 x^{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{3 x^{2}} \\ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = (0)^{3} - 1 = - 1 \\ x = 1 \Rightarrow u = (1)^{3} - 1 = 0 \\ \int_{0}^{1} x^{2} {(x^{3} - 1)}^{4} d x = \int_{- 1}^{0} x^{2} u^{4} \frac{d u}{3 x^{2}} \end{matrix} \\ = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{3} u^{4} d u \\ = {\frac{1}{15} u^{5} |}_{- 1}^{0} \\ = (\frac{1}{15} (0)^{5}) - (\frac{1}{15} (- 1)^{5}) \\ = \frac{1}{15} \end{aligned}$

$\int_{- 1}^{0} \frac{x^{3}}{{(2 - x^{4})}^{7}} d x$ (b)

$\begin{aligned} \begin{matrix} \int_{- 1}^{0} \frac{x^{3}}{{(2 - x^{4})}^{7}} d x \\ u = 2 - x^{4} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - 4 x^{3} \end{matrix} \\ \Rightarrow d x = \frac{d u}{- 4 x^{3}} \\ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = 2 - (0)^{4} = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow u = 2 - (- 1)^{4} = 1 \\ \int_{- 1}^{0} \frac{x^{3}}{{(2 - x^{4})}^{7}} d x = \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{u^{7}} \times \frac{d u}{- 4 x^{3}} \end{matrix} \\ = \int_{1}^{2} - \frac{1}{4} u^{- 7} d u \\ = {\frac{1}{24} u^{- 6} |}_{1}^{2} \\ = {\frac{1}{24 u^{6}} |}_{1}^{2} \\ = (\frac{1}{24 (2)^{6}}) - (\frac{1}{24 (1)^{6}}) \\ = - \frac{21}{512} \end{aligned}$

$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x$ (c)

$\begin{aligned} \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x \\ u = \ln x ⟹ & \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow d x = x d u \\ x = e \Rightarrow u & = \ln e = 1 \\ x = 1 ⟹ u & = \ln 1 = 0 \\ \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x & = \int_{0}^{1} \frac{u}{x} x d u \\ = \int_{0}^{1} u d u \\ = {\frac{1}{2} u^{2} |}_{0}^{1} \\ = (\frac{1}{2} (1)^{2}) - (\frac{1}{2} (0)^{2}) \end{aligned}$