أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

التكامل بالأجزاء

أتحقق من فهمي صفحة (63):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int x \sin x d x$ (a)

$\begin{array}{ll} u = x & d v = \sin x d x \\ d u = d x & v = - \cos x \\ \int x \sin x d x & = - x \cos x - \int - \cos x d x \\ = - x \cos x + \sin x + C \end{array}$

$\int x^{2} \ln x d x$ (b)

$\begin{aligned} u = \ln x d v = x^{2} d x \\ d u = \frac{1}{x} d x v = \frac{1}{3} x^{3} \\ \int x^{2} \ln x d x = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \int \frac{1}{3} x^{2} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{9} x^{3} + C \end{aligned}$

$\int 2 x \sqrt{7 - 3 x} d x$ (c)

ملاحظة: يمكن حل هذه المسألة بطريقة التعويض $u = 7 - 3 x أو u = \sqrt{7 - 3 x}$

وتالياً حلها بالأجزاء:

$\begin{aligned} u = x d v = (7 - 3 x)^{\frac{1}{2}} d x \\ d u = d x v = - \frac{2}{9} (7 - 3 x)^{\frac{3}{2}} \\ \int x \sqrt{7 - 3 x} d x = - \frac{2}{9} x (7 - 3 x)^{\frac{3}{2}} - \int - \frac{2}{9} (7 - 3 x)^{\frac{3}{2}} d x \\ = - \frac{2}{9} x (7 - 3 x)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} (7 - 3 x)^{\frac{5}{2}} + C \end{aligned}$

$\int 3 x e^{4 x} d x$ (d)

$\begin{aligned} u = 3 x d v = e^{4 x} d x \\ d u = 3 d x v = \frac{1}{4} e^{4 x} \\ \int 3 x e^{4 x} d x = \frac{3}{4} x e^{4 x} - \int \frac{3}{4} e^{4 x} d x \\ = \frac{3}{4} x e^{4 x} - \frac{3}{16} e^{4 x} + C \end{aligned}$

تكرار التكامل بالأجزاء

أتحقق من فهمي صفحة (64):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int x^{2} \sin x d x$ (a)

$\begin{array}{lr} u = x^{2} & d v = s i n x d x \\ d u = 2 x d x & v = - c o s x \end{array} \begin{aligned} \int x^{2} s i n x d x = - x^{2} c o s x - \int - 2 x c o s x d x \\ \int x^{2} s i n x d x = - x^{2} c o s x + \int 2 x c o s x d x \\ u = 2 x d v = c o s x d x \\ d u = 2 d x v = s i n x \\ \int x^{2} s i n x d x = - x^{2} c o s x + 2 x s i n x - \int 2 s i n x d x \\ = - x^{2} c o s x + 2 x s i n x + 2 c o s x + C \end{aligned}$

$\int x^{3} e^{4 x} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = x^{3} d v = e^{4 x} d x \\ d u = 3 x^{2} d x v = \frac{1}{4} e^{4 x} \\ \int x^{3} e^{4 x} d x = \frac{1}{4} x^{3} e^{4 x} - \int \frac{3}{4} x^{2} e^{4 x} d x \\ u = \frac{3}{4} x^{2} d v = e^{4 x} d x \\ d u = \frac{3}{2} x d x v = \frac{1}{4} e^{4 x} \\ \int x^{3} e^{4 x} d x = \frac{1}{4} x^{3} e^{4 x} - \frac{3}{16} x^{2} e^{4 x} + \int \frac{3}{8} x e^{4 x} d x \\ u = \frac{3}{8} x d v = e^{4 x} d x \\ d u = \frac{3}{8} d x v = \frac{1}{4} e^{4 x} \\ \int x^{3} e^{4 x} d x = \frac{1}{4} x^{3} e^{4 x} - \frac{3}{16} x^{2} e^{4 x} + \frac{3}{32} x e^{4 x} - \int \frac{3}{32} e^{4 x} d x \\ = \frac{1}{4} x^{3} e^{4 x} - \frac{3}{16} x^{2} e^{4 x} + \frac{3}{32} x e^{4 x} - \frac{3}{128} e^{4 x} + C \end{aligned}$

التكاملات الدورية

أتحقق من فهمي صفحة (66):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{\sin x}{e^{x}} d x$ (a)

$\begin{array}{cr} \int \frac{s i n x}{e^{x}} d x = \int s i n x e^{- x} d x \\ u = s i n x & d v = e^{- x} d x \\ d u = c o s x d x & v = - e^{- x} \end{array} \begin{aligned} \int s i n x e^{- x} d x = - s i n x e^{- x} - \int - e^{- x} c o s x d x \\ \int s i n x e^{- x} d x = - s i n x e^{- x} + \int e^{- x} c o s x d x \\ u = c o s x d v = e^{- x} d x \\ d u = - s i n x d x v = - e^{- x} \\ \int s i n x e^{- x} d x = - s i n x e^{- x} + e^{- x} c o s x - \int e^{- x} s i n x d x \\ \Rightarrow 2 \int s i n x e^{- x} d x = e^{- x} (- s i n x + c o s x) + C \\ \int s i n x e^{- x} d x = \frac{1}{3} e^{- x} (- s i n x + c o s x) + C \end{aligned}$

$\int \sec^{3} x d x$ (b)

$\begin{aligned} u = \sec x d v = \sec^{2} x d x \\ d u = \sec x \tan x d x v = \tan x \\ \int \sec^{3} x d x = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^{2} x d x \\ = \sec x \tan x - \int \sec x (\sec^{2} x - 1) d x \\ = \sec x \tan x - \int \sec^{3} x d x + \int \sec x d x \\ 2 \int \sec^{3} x d x = \sec x \tan x + \int \sec x d x \\ = \sec x \tan x + \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} d x \\ = \sec x \tan x + \int \frac{\sec^{2} x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} d x \\ = \sec x \tan x + \ln | \sec x + \tan x | \\ \int \sec^{3} x d x = \frac{1}{2} (\sec x \tan x + \ln | \sec x + \tan x |) + C \end{aligned}$

تكرار التكامل بالأجزاء باستعمال طريقة الجدول

أتحقق من فهمي صفحة (67):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int x^{4} \cos 4 x d x$ (a)

نفرض أن: $f (x) = x^{4}, g (x) = \cos 4 x$ ، استخدم طريقة الجدول للتكامل بالأجزاء:

حل a

$\begin{aligned} \int x^{4} \cos 4 x d x = \\ \frac{1}{4} x^{4} \sin 4 x + \frac{1}{4} x^{3} \cos 4 x - \frac{3}{16} x^{2} \sin 4 x - \frac{3}{32} x \cos 4 x + \frac{3}{128} \sin 4 x + C \end{aligned}$

$\int x^{5} e^{x} d x$ (b)

نفرض أن: $f (x) = x^{5}, g (x) = e^{x}$ ، استخدم طريقة الجدول للتكامل بالأجزاء:

حل b

$\int x^{5} e^{x} d x = e^{x} (x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} + 120 x - 120) + C$

أتحقق من فهمي صفحة (68):

التكلفة الحدية: يمثل الاقتران: $C^{'} (x) = (0.1 x + 1) e^{0.03 x}$ التكلفة الحدية لكل قطعة (بالدينار) تنتج في إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المنتجة، و $C (x)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار. أجد اقتران التكلفة $C (x)$ ، علماً بأن $C (10) = 200$ .

$\begin{aligned} C (x) = \int (0.1 x + 1) e^{0.03 x} d x \\ \begin{matrix} u = 0.1 x + 1 d v = e^{0.03 x} d x \\ d u = 0.1 d x v = \frac{1}{0.03} e^{0.03 x} \\ \begin{aligned} \int (0.1 x + 1) e^{0.03 x} d x = (0.1 x + 1) (\frac{1}{0.03} e^{0.03 x}) - \int \frac{0.1}{0.03} e^{0.03 x} d x \\ = \frac{10}{3} (x + 10) e^{0.03 x} - \frac{1000}{9} e^{0.03 x} + C \end{aligned} \\ C (10) = \frac{200}{3} e^{0.3} - \frac{1000}{9} e^{0.3} + C = 200 \Rightarrow C \approx 260 \\ \Rightarrow C (x) = \frac{10}{3} e^{0.03 x} (x - \frac{70}{3}) + 260 \end{matrix} \end{aligned}$

التكامل بالأجزاء لتكاملات محدودة

أتحقق من فهمي صفحة (70):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^{2}} d x$ (a)

$\begin{array}{lc} u = \ln x & d v = x^{- 2} d x \\ d u = \frac{1}{x} d x & v = - \frac{1}{x} \\ \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^{2}} d x & = - {\frac{\ln x}{x} |}_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x \\ = - {\frac{\ln x}{x} |}_{1}^{e} + {(- \frac{1}{x}) |}_{1}^{e} \\ = - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e} \end{array}$

$\int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x$ (b)

$\begin{array}{lc} u = x & d v = e^{- 2 x} d x \\ d u = d x & v = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} \\ \int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x & = - {\frac{1}{2} x e^{- 2 x} |}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x \\ = - {\frac{1}{2} x e^{- 2 x} |}_{0}^{1} + - {\frac{1}{4} e^{- 2 x} |}_{0}^{1} \\ = - \frac{e^{- 2}}{2} - \frac{e^{- 2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 e^{2}} \end{array}$

التكامل بالأجزاء، والتكامل بالتعويض

أتحقق من فهمي صفحة (71):

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

$\int (x^{3} + x^{5}) \sin x^{2} d x$ (a)

$\int (x^{3} + x^{5}) \sin x^{2} d x = \int x^{3} \sin x^{2} d x + \int x^{5} \sin x^{2} d x$

نجد كل تكامل على حدة. فنجد التكامل الأيسر كما يأتي:

$\begin{aligned} y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x \Rightarrow d x = \frac{d y}{2 x} \\ \int x^{3} s i n x^{2} d x = \int x^{3} s i n y \frac{d y}{2 x} = \frac{1}{2} \int x^{2} s i n y d y \\ = \frac{1}{2} \int y s i n y d y \end{aligned} \begin{aligned} u = y d v = s i n y \\ d u = d y v = - c o s y \\ \int y s i n y d y = - y c o s y - \int - c o s y d y \\ \int x^{3} s i n x^{2} d x = - \frac{1}{2} x^{2} c o s x^{2} + \frac{1}{2} s i n x^{2} + C \end{aligned}$

ونجد التكامل الأيمن كما يأتي:

$\begin{aligned} \int x^{5} s i n x^{2} d x = \int x^{5} s i n y \frac{d y}{2 x} & = \frac{1}{2} \int x^{4} s i n y d y \\ = \frac{1}{2} \int y^{2} s i n y d y \end{aligned} \begin{aligned} u = y^{2} d v = s i n y \\ d u = 2 y d y v = - c o s y \\ \int y^{2} s i n y d y = - y^{2} c o s y - \int - 2 y c o s y d y \\ = - y^{2} c o s y + 2 y s i n y - 2 \int s i n y d y \\ = - y^{2} c o s y + 2 y s i n y + 2 c o s y \end{aligned} \begin{aligned} \int x^{5} s i n x^{2} d x = \frac{- 1}{2} x^{4} c o s x^{2} + x^{2} s i n x^{2} + c o s x^{2} + C \\ \int (x^{3} + x^{5}) s i n x^{2} d x = - \frac{1}{2} x^{2} c o s x^{2} + \frac{1}{2} s i n x^{2} - \frac{1}{2} x^{4} c o s x^{2} \\ + x^{2} s i n x^{2} + c o s x^{2} + C \end{aligned}$

$\int x^{5} e^{x^{2}} d x$ (b)

$\begin{aligned} y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x \Rightarrow d x = \frac{d y}{2 x} \\ \int x^{5} e^{x^{2}} d x = \int x^{5} e^{y} \frac{d y}{2 x} = \int \frac{1}{2} x^{4} e^{y} d y = \frac{1}{2} \int y^{2} e^{y} d y \\ u = y^{2} d v = e^{y} d y \\ d u = 2 y d y v = e^{y} \\ \int y^{2} e^{y} d y = y^{2} e^{y} - \int 2 y e^{y} d y \\ = y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + \int 2 e^{y} d y \\ = y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y} = (y^{2} - 2 y + 2) e^{y} \\ \int x^{5} e^{x^{2}} d x = (\frac{1}{2} x^{4} - x^{2} + 1) e^{x^{2}} + C \end{aligned}$