أتدرب وأحل المسائل

الاقترانات المثلثية

أجد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية Ɵ في كلّ ممّا يأتي: 

1)

$\begin{array}{rl}& x=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\\ & sin\theta =\frac{1}{3},cos\theta =\frac{2\sqrt{2}}{3},tan\theta =\frac{1}{2\sqrt{2}}\\ & csc\theta =3,sec\theta =\frac{3}{2\sqrt{2}},cot\theta =2\sqrt{2}\end{array}$

2)

$\begin{array}{ll}x=\sqrt{(18{)}^2-(9{)}^2}=4\sqrt{14}& \\ sin\theta =\frac{2\sqrt{14}}{9} ,& cos\theta =\frac{5}{9},tan\theta =\frac{2\sqrt{14}}{5}\\ csc\theta =\frac{9}{2\sqrt{14}} ,& sec\theta =\frac{9}{5},cot\theta =\frac{5}{2\sqrt{14}}\end{array}$

3)

$\begin{array}{rl}& x=\sqrt{(26{)}^2-(14{)}^2}=4\sqrt{30}\\ & sin\theta =\frac{2\sqrt{30}}{13},cos\theta =\frac{7}{13},tan\theta =\frac{2\sqrt{30}}{7}\\ & csc\theta =\frac{13}{2\sqrt{30}},sec\theta =\frac{13}{7},cot\theta =\frac{7}{2\sqrt{30}}\end{array}$

تقع النقطة المعطاة في كلّ مما يأتي على ضلع انتهاء الزاوية Ɵ المرسومة في الوضع القياسي. أجد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية Ɵ .

4) (-12, 5)

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{144+25}=13\\ & sin\theta =\frac{5}{13},cos\theta =-\frac{12}{13},tan\theta =-\frac{5}{12}\\ & csc\theta =\frac{13}{5},sec\theta =-\frac{13}{12},cot\theta =-\frac{12}{5}\end{array}$

5) (3, -3)

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\\ & sin\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}},cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}},tan\theta =-1\\ & csc\theta =-\sqrt{2},sec\theta =\sqrt{2},cot\theta =-1\end{array}$

6) (-2, -5)

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\\ & sin\theta =-\frac{5}{\sqrt{29}},cos\theta =-\frac{2}{\sqrt{29}},tan\theta =\frac{5}{2}\\ & csc\theta =-\frac{\sqrt{29}}{5},sec\theta =-\frac{\sqrt{29}}{2},cot\theta =\frac{2}{5}\end{array}$

7) (3, 7)

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\\ & sin\theta =\frac{7}{\sqrt{58}},cos\theta =\frac{3}{\sqrt{58}},tan\theta =\frac{7}{3}\\ & csc\theta =\frac{\sqrt{58}}{7},sec\theta =\frac{\sqrt{58}}{3},cot\theta =\frac{3}{7}\end{array}$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي: 

8) sec 135^o

$sec{135}^{\circ }=-sec{45}^{\circ }=-\sqrt{2}$

9) $\tan (-\frac{3\pi }{4})$

$\tan -\frac{3\pi }{4}=-\tan \frac{3\pi }{4}=1$

10) $\cot \left(\frac{8\mathrm{\pi }}{3}\right)$

$\cot \frac{8\pi }{3}=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

11) $\cos \left(\frac{7\pi }{4}\right)$

$\cos \frac{7\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

12) $\sec \left(\frac{15\mathrm{\pi }}{4}\right)$  

$\sec \frac{15\pi }{4}=\sec \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$

13) csc (-630^o)

$\csc -{630}^{\circ }=\csc {90}^{\circ }=1$

14) tan 7π

$\tan 7\pi =\tan \pi =0$

15) $\sin (-\frac{2\pi }{3})$

$\sin -\frac{2\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

أجد قيمة كل من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية Ɵ في كلّ ممّا يأتي: 

16) $\cos \theta =-\frac{7}{12} , \tan \theta >0$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{144-49}=\sqrt{95}\\ & sin\theta =-\frac{\sqrt{95}}{12},tan\theta =\frac{\sqrt{95}}{7}\\ & csc\theta =-\frac{12}{\sqrt{95}},sec\theta =-\frac{12}{7},cot\theta =\frac{7}{\sqrt{95}}\end{array}$

17) $\sec \theta =5 , \sin \theta <0$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}\\ & sin\theta =-\frac{\sqrt{24}}{5},tan\theta =-\sqrt{24}\\ & csc\theta =-\frac{5}{\sqrt{24}},cos\theta =\frac{1}{5},cot\theta =-\frac{1}{\sqrt{24}}\end{array}$

18) $\cot \theta =\frac{1}{4} , \sin \theta <0$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\\ & sin\theta =-\frac{4}{\sqrt{17}},tan\theta =4,csc\theta =-\frac{\sqrt{17}}{4},cos\theta =-\frac{1}{\sqrt{17}},sec\theta =-\sqrt{17}\end{array}$

19) $\csc \theta =2 , c\mathrm{os} \theta >0$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\ & sin\theta =\frac{1}{2},tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}},cot\theta =\sqrt{3},cos\theta =\frac{\sqrt{3}}{2},sec\theta =\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

(20) بكرة: يمثل الاقتران: y = 20 + sin (10t) الارتفاع الرأسي عن سطح الأرض بالسنتيمترات لسِنّ بكرة دراجة هوائية بعد t ثانية من بدء حركة الدارجة. أجد الارتفاع الرأسي لسِنّ البكرة بعد 2.5 ثانية من بدء حركة الدرّاجة.

$y=20+sin 10(2.5)=20+sin 25\approx 19.87\mathrm{cm}$

إذا كان: cos $\frac{\mathrm{\pi }}{12}$ = 0.966 لأقرب ثلاث منازل عشرية فأستعمل هذه الحقيقة لإيجاد قيمة كلّ ممّا يأتي:

21) cos $\frac{13\mathrm{\pi }}{12}$

$cos \frac{13\pi }{12}=-cos \frac{\pi }{12}=-0.966$

22) cos $\frac{11\mathrm{\pi }}{12}$ 

$\cos \frac{11\pi }{12}=-\cos \frac{\pi }{12}=-0.966$

23) cos $\frac{-\mathrm{\pi }}{12}$

$\cos \frac{-\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{12}=0.966$

24) cos $\frac{23\mathrm{\pi }}{12}$ 

$\cos \frac{23\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{12}=0.966$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي: 

25) ${(\cos \frac{3\pi }{4})}^2+{(\sin \frac{4\pi }{3})}^2+{(\cos \frac{5\pi }{4})}^2$

${(cos \frac{3\pi }{4})}^2+{(sin \frac{4\pi }{3})}^2+{(cos \frac{5\pi }{4})}^2=\frac{1}{2}+\frac{9}{4}+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$

26) $\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \pi -\sin \frac{4\pi }{3}+\sin \frac{5\pi }{3}-\sin 2\pi$

$\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \pi -\sin \frac{4\pi }{3}+\sin \frac{5\pi }{3}-\sin 2\pi =0$

يبين الشكل المجاور قطاعاً دائرياً، طول نصف قطره  r، وطول قوسه 2r . إذا كانت مساحة الجزء المظلل من القطاع 24 cm² ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(27) طول نصف قطر القطاع.

نفترض Ɵ زاوية القطاع.

$\begin{array}{rl}& l=r\theta \to 2r=r\theta \to \theta =2\\ & A=\frac{1}{2}{r}^2\theta -\frac{1}{2}{r}^{2}sin \theta \to 24=\frac{1}{2}{r}^2\left(2\right)-\frac{1}{2}{r}^{2}sin 2\\ & \to r=\sqrt{\frac{48}{2-sin2}}\approx 6.6\mathrm{cm}\end{array}$

(28) محيط الجزء المظلل.

نفترض طول الضلع الثالث في المثلث الأبيض يساوي h

نجد عن طريق قانون جيب التمام أو بإنزال عمود من رأس المثلث المتطابق الضلعين على القاعدة.

فنجد h = 2r sin 1

محيط الشكل المظلل:

$P=2r+h=2r+2rsin 1\approx 24.3 \mathrm{cm}$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي (إن وجدت): 

29) ${\sin }^{-1} (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$si{n}^{-1} (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}$

30) tan^-1 (-1)

${\tan }^{-1} (-1)=-\frac{\pi }{4}$

31) ${\tan }^{-1} \left(\sqrt{3}\right)$

${\tan }^{-1} \left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi }{3}$

32) cos^-1 (2)

${\cos }^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi }{4}$