أتحقق من فهمي

قاعدة السلسلة

قاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة (56)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) y = (x² – 2)⁴

u = x² – 2

y = u⁴

$\frac{du}{dx}$ = 2x

$\frac{dy}{du}$ = 4u³

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{dy}{du}$ x $\frac{du}{dx}$

  = 4u³ x 2x 

  = 8xu³

  = 8x (x² – 2)³

(b) y = $\sqrt{x^3 + 4x }$

y = ${(x^3 + 4x)}^{\frac{1}{2}}$

u = x³ + 4x

y = $u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx}$ = 3x² + 4

$\frac{dy}{du}$ = $\frac{1}{2}$$u^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{dy}{du}$ x $\frac{du}{dx}$

  = $\frac{1}{2}$$u^{-\frac{1}{2}}$ x (3x² + 4)

  = $\frac{3x^2 + 4}{2\sqrt{x^3 }+ 4x}$

قاعدة سلسلة القوة

أتحقق من فهمي صفحة (58)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(a) f(x) = (x⁴ + 1)⁵ , x = 1

f ’(x) = 5 (x⁴ + 1)⁴ (4x³)

         = 20x³ (x⁴ + 1)⁴

f ’(1) = 20 (1)³ ((1)⁴ + 1)⁴ = 20 x 16 = 320

(b) f(x) = $\sqrt{x^2 + 3x + 2 }$ , x = 2

f(x) = ${(x^2 + 3x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

f ’(x) = $\frac{1}{2}$ ${(x^2 + 3x + 2)}^{-\frac{1}{2}}$ (2x + 3)

f ’(x) = $\frac{1}{2}$ (2x + 3) ${(x^2 + 3x + 2)}^{-\frac{1}{2}}$

         = $\frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 2}}$

f ’(2) = $\frac{2\left(2\right) + 3}{2\sqrt{2^2 + 3 \mathrm{x} 2 + 2}}$ = $\frac{7}{2\sqrt{12}}$

(c) f(x) = $\sqrt[4]{{(2x^2 - 7)}^5}$ , x = 4

f(x) = $\sqrt[4]{{(2x^2 - 7)}^5}$ = ${(2x^2 - 7)}^{\frac{5}{4}}$

f ’(x) = $\frac{5}{4}$ ${(2x^2 - 7)}^{\frac{1}{4}}$ (4x)

        = $\frac{5}{4}$ (4x) ${(2x^2 - 7)}^{\frac{1}{4}}$

        = 5x x $\sqrt[4]{(2x^2 - 7)}$

f ’(4) = 5 x 4 x $\sqrt[4]{(2{\left(4\right)}^2 - 7)}$ = 20 $\sqrt[4]{25}$

قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة (59)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = (1 + x³)⁴ + x⁸ + 2

f ’(x) = 4 (1 + x³)³ (3x²) + 8x⁷

         = 12x² (1 + x³)³ + 8x⁷

(b) f(x) = $\sqrt[3]{2x - 1}$ - (x - 3)³

f(x) = ${(2x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ – (x – 3)³

f ’(x) = $\frac{1}{3}$ ${(2x - 1)}^{-\frac{1}{3}}$ (2) – 3(x – 3)² (1)

    = $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(2x - 1)}^2}}$ -3(x – 3)²

معدل التغير

أتحقق من فهمي صفحة (61)

صناعة: يُمثل الاقتران: P(t) = $\sqrt{10t^2 + t + 229}$ إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير)، حيث t عدد السنوات بعد عام  2015م.

(a) أجد معدل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن t .

P ’(t) = $\frac{20t + 1}{2\sqrt{10t^2 + t + 229}}$

(b) أجد معدل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام  2020م، مفسراً معنى الناتج.

t = 2020 – 2015 = 5

P ’(5) = $\frac{101}{2\sqrt{250 + 5 + 229}}$ = $\frac{101}{2\sqrt{484}}$ = $\frac{101}{2 \mathrm{x} 22}$ = $\frac{101}{44}$ ≈ 2.3

إذن في سنة 2020 يزداد إجمالي الأرباح بمعدل 2300 دينار لكل سنة.

قاعدة السلسلة والمتغير الوسيط

أتحقق من فهمي صفحة (62)

إذا كان: y = u⁵ + u³ ، حيث: u = 3 – 4x ، فأوجد $\frac{dy}{dx}$ عندما x = 2 .

$\frac{dy}{dx}$ = 5u⁴ + 3u²

$\frac{du}{dx}$ = -4

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{dy}{du}$ x $\frac{du}{dx}$

       = (5u⁴ + 3u²) x -4

       = -4(5(3 – 4x)⁴ + 3(3 – 4x)²)

       = -20 (3 – 4x)⁴ – 12 (3 – 4x)²

   ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ x = 2}$ = -20 (625) – 12 (25) = -12800