مهارات التفكير العليا

قاعدة السلسلة

(25) تبرير: إذا كان: $h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$ ، حيث: $f\left(u\right)=u^2-1$ ، وكان $g\left(2\right)=3, g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=-1$ ، فأجد $h^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}{h}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =f^{\mathrm{\prime }}\left(g\right(x\left)\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\\ h^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)& =f^{\mathrm{\prime }}\left(g\right(2\left)\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\\ & =f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)\times -1\end{array}$

نجد مشتقة  f  ونحسب $f^{\mathrm{\prime }}$(3)

$f\left(u\right)=u^2-1\to f^{\mathrm{\prime }}\left(u\right)=2u\to f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=2\times 3=6$

إذن:

$\begin{array}{rl}{h}^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)& =f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)\times -1\\ & =6\times -1=-6\end{array}$

(26) تبرير: أجد مشتقة الاقتران: y = (x² – 4)⁵ عندما y = 0 ، مبرراً إجابتي؟

$\begin{array}{rl}& y={(x^2-4)}^5\\ & 0={(x^2-4)}^5\to x^2-4=0\to (x-2)(x+2)=0\\ & \frac{dy}{dx}=5{(x^2-4)}^4\left(2x\right)=10x{(x^2-4)}^4\\ & {\frac{dy}{dx}|}_{x=2}=10\left(2\right){(2^2-4)}^4=0\\ & {\frac{dy}{dx}|}_{x=-2}=10(-2){\left(\right(-2{)}^2-4)}^4=0\end{array}$

(27) أكتشف المختلف: أي الاقترانات الآتية مختلف، مبرراً إجابتي؟

 p(x) هو الاقتران الوحيد الذي يمكن اشتقاقه بدون تطبيق قاعدة السلسة.

(28) تحدّ: أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x+{(x^2+x)}^4}$

 $\begin{array}{rl}f\left(x\right)& ={(2x+{(x^2+x)}^4)}^{\frac{1}{3}}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{1}{3}{(2x+{(x^2+x)}^4)}^{-\frac{2}{3}}(2+4{(x^2+x)}^3(2x+1\left)\right)\\ & =\frac{2+4{(x^2+x)}^3(2x+1)}{3\sqrt[3]{{(2x+{(x^2+x)}^4)}^2}}\end{array}$