أتحقق من فهمي

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

المشتقة الثانية

أتحقق من فهمي صفحة (101)

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=x^4-3x^2+\cos x$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4x^3-6x-sin x\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-6-cos x\end{array}$

(b) $f\left(x\right)=\frac{2}{x^3}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=24x^{-5}=\frac{24}{x^5}\end{array}$

السرعة والتسارع، الحركة على خط مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (103)

يمثل الاقتران: $\mathit{s}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{3}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار و t الزمن بالثواني:

(a) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 3 ؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=6t-3t^2\\ & v\left(3\right)=6\left(3\right)-3(3{)}^2=18-27=-9\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(b) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 3 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة سالبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب (إلى اليسار) عندما t = 3  .

(c) ما تسارع الجسم عندما t = 3 ؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=6-6t\\ & a\left(3\right)=6-6\left(3\right)=-12\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

(d) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{array}{rl}& 6t-3t^2=0\\ & 3t(2-t)=0\\ & t=0\text{or}t=2\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (104)

فهد: يمكن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية متحركاً في خط مستقيم باستعمال الاقتران: $s\left(t\right)=t^3-6t^2+9t$ ، حيث t الزمن بالثواني و s الموقع بالأمتار:

(a) ما سرعة الفهد المتجهة بعد3 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=3t^2-12t+9\\ & v\left(3\right)=3(3{)}^2-12(3)+9=27-36+9=0\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(b) ما تسارع الفهد المتجهة بعد3 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=6t-12\\ & a\left(3\right)=6\left(3\right)-12=6\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

(c) أجد قيم t التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{array}{rl}& 3t^2-12t+9=0\\ & (3t-3)(t-3)=0\\ & t=1\text{or}t=3\end{array}$