مسألة اليوم

التكامل بالتعويض

يمثل الاقتران $C\left(t\right)$ تركيز دواء في الدم بعد $t$ ساعة من حقنه في جسم حيث $C$ مقيسة بالمليغرام لكل سنتيمتر مكعب $(\mathrm{mg}/{\mathrm{cm}}^3)$. إذا كان تركيز الدواء في دم المريض يتغير بمعدل $C^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{0.3t}{\sqrt{t^2+16}}$، فأجد مقدار التغير في تركيز الدواء بالدم خلال الساعات الثلاث الأولى التي تلت حقنه في جسم المريض.

أولاً نجد تكامل الاقتران: 

$\begin{array}{rl}& C\left(t\right)=\int \frac{0.3t}{\sqrt{t^2+16}}dt\\ & u=t^2+16\Rightarrow \frac{du}{dt}=2t\\ & \Rightarrow dt=\frac{du}{2t}\\ & C\left(t\right)=\int \frac{0.3t}{\sqrt{t^2+16}}dt\\ & =\int \frac{0.3t}{\sqrt{u}}\times \frac{du}{2t}\\ & =0.15\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ & =2u^{\frac{1}{2}}+K\\ & =2\sqrt{u}+K\\ & =2\sqrt{t^2+16}+K\end{array}$

بما أن مقدار تركيز الدواء في الدم في البداية هي 0، إذن $C\left(0\right)=0$ ومنه:

$\begin{array}{rl}& C\left(t\right)=2\sqrt{t^2+16}+K\\ & C\left(0\right)=2\sqrt{0^2+16}+K\\ & 0=8+K\\ & K=-8\\ & C\left(t\right)=2\sqrt{t^2+16}-8\\ & C\left(3\right)=2\sqrt{(3{)}^2+16}-8=2\end{array}$

مقدار التغير في تركيز الدواء في الجسم خلال الساعات الثلاث الأولى من حقنه هو $2mg/c{m}^2$