أتحقق من فهمي

التكامل بالتعويض

التكامل بالتعويض للتكاملات غير المحدودة

أتحقق من فهمي صفحة (58):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int 6x^2{(2x^3-3)}^{4}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}\int 6x^2{(2x^3-3)}^{4}dx& \\ u=2x^3-3\Rightarrow \frac{du}{dx}& =6x^2\\ \Rightarrow dx& =\frac{du}{6x^2}\\ \int 6x^2{(2x^3-3)}^{4}dx& =\int 6x^2{u}^4\times \frac{du}{6x^2}\\ & =\int u^{4}du\\ & =\frac{1}{5}{u}^5+C\\ & =\frac{1}{5}{(2x^3-3)}^5+C\end{array}$

$\int x{e}^{x^2+1}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \int x{e}^{x^2+1}dx\\ & u=x^2+1\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int x{e}^{x^2+1}dx=\int x{e}^u\times \frac{du}{2x}\\ & =\int \frac{1}{2}{e}^{u}du\\ & =\frac{1}{2}{e}^u+C\\ & =\frac{1}{2}{e}^{x^2+1}+C\\ & \end{array}$

$\int \frac{4x+8}{\sqrt{2x^2+8x}}dx$ (c)

$\begin{array}{rl}\int \frac{4x+8}{\sqrt{2x^2+8x}}dx& \\ u=2x^2+8x& \Rightarrow \frac{du}{dx}=4x+8\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{4x+8}\\ \int \frac{4x+8}{\sqrt{2x^2+8x}}dx& =\int \frac{4x+8}{\sqrt{u}}\times \frac{du}{4x+8}\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{u}}du\\ & =\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ & =2u^{\frac{1}{2}}+C\\ & =2\sqrt{2x^2+8x}+C\end{array}$

$\int x{e}^{x^2+1}dx$ (d)

$\begin{array}{rl}& \int \frac{(\ln x{)}^2}{x}dx\\ & u=\ln x\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\ & \Rightarrow dx=xdu\\ & \int \frac{(\ln x{)}^2}{x}dx=\int \frac{u^2}{x}\times xdu\\ & =\int u^{2}du\\ & =\frac{1}{3}{u}^3+C\\ & =\frac{1}{3}(\ln x{)}^3+C\end{array}$

$\int x^3\cos (x^4-5)dx$ (e)

$\begin{array}{rl}& \int x^3\cos (x^4-5)dx\\ & u=x^4-5\Rightarrow \frac{du}{dx}=4x^3\\ & ⟹dx=\frac{du}{4x^3}\\ & \int x^3\cos (x^4-5)dx=\int x^3\cos u\times \frac{du}{4x^3}\\ & =\int \frac{1}{4}\cos udu\\ & =\frac{1}{4}\sin u+C\\ & =\frac{1}{4}\sin (x^4-5)+C\end{array}$

$\int {\cos }^{4}x\sin xdx$ (f)

$\begin{array}{rl}& \int {\cos }^{4}x\sin xdx\\ & u=\cos x\Rightarrow \frac{du}{dx}=-\sin x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{-\sin x}\\ & \int {\cos }^{4}x\sin xdx=\int u^4\sin x\times \frac{du}{-\sin x}\\ & =\int -u^{4}du\\ & =-\frac{1}{5}{u}^5+C\\ & =-\frac{1}{5}{\cos }^{5}x+C\\ & \end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (60):

تجارة: يمثل الاقتران $p\left(x\right)$ سعر القطعة الواحدة (بالدينار) من منتج معين، حيث $x$ عدد القطع المبيعة (بالمئات) من المنتج، إذا كان $p^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-300x}{\sqrt{{(36+x^2)}^3}}$ هو معدل التغير في سعر القطعة الواحدة من المنتج، فأجد $p\left(x\right)$، علماً بأن سعر القطعة الواحدة $\text{JD}75$ عندما يكون عدد القطع المبيعة 800 قطعة.

أولاً نجد تكامل الاقتران:

$\begin{array}{rl}& P\left(x\right)=\int \frac{-300x}{\sqrt{{(36+x^2)}^3}}dx\\ & u=36+x^2\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & P\left(x\right)=\int \frac{-300x}{\sqrt{{(36+x^2)}^3}}dx=\int \frac{-300x}{u^{\frac{3}{2}}}\times \frac{du}{2x}\\ & =-150\int u^{-\frac{3}{2}}du\\ & =300u^{-\frac{1}{2}}+C\\ & =\frac{300}{\sqrt{u}}+C\\ & =\frac{300}{\sqrt{36+x^2}}+C\\ & \end{array}$

بما أن سعر القطعة الواحدة هو 75 ديناراً عندما يكون عدد القطع المبيعة 800 قطعة، إذن $P\left(8\right)=75$ ومنه:

$\begin{array}{rl}& P\left(x\right)=\frac{300}{\sqrt{36+x^2}}+C\\ & P\left(8\right)=\frac{300}{\sqrt{36+4^2}}+C\\ & 75=\frac{300}{\sqrt{52}}+C\\ & C=75-\frac{300}{\sqrt{52}}\\ & P\left(x\right)=\frac{300}{\sqrt{36+x^2}}+75-\frac{300}{\sqrt{52}}\end{array}$

التكامل بالتعويض للتكاملات المحدودة

أتحقق من فهمي صفحة (62):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

${\int }_0^1{x}^2{(x^3-1)}^{4}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}{\int }_0^1{x}^2{(x^3-1)}^{4}dx\\ u=x^3-1\Rightarrow \frac{du}{dx}=3x^2\end{array}\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{3x^2}\\ & \begin{array}{c}x=0\Rightarrow u=(0{)}^3-1=-1\\ x=1\Rightarrow u=(1{)}^3-1=0\\ {\int }_0^1{x}^2{(x^3-1)}^{4}dx={\int }_{-1}^0{x}^2{u}^4\frac{du}{3x^2}\end{array}\\ & ={\int }_{-1}^0\frac{1}{3}{u}^{4}du\\ & ={\frac{1}{15}{u}^5|}_{-1}^0\\ & =\left(\frac{1}{15}\right(0{)}^5)-\left(\frac{1}{15}\right(-1{)}^5)\\ & =\frac{1}{15}\\ & \end{array}$

${\int }_{-1}^0\frac{x^3}{{(2-x^4)}^7}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}{\int }_{-1}^0\frac{x^3}{{(2-x^4)}^7}dx\\ u=2-x^4\Rightarrow \frac{du}{dx}=-4x^3\end{array}\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{-4x^3}\\ & \begin{array}{c}x=0\Rightarrow u=2-(0{)}^4=2\\ x=-1\Rightarrow u=2-(-1{)}^4=1\\ {\int }_{-1}^0\frac{x^3}{{(2-x^4)}^7}dx={\int }_1^2\frac{x^3}{u^7}\times \frac{du}{-4x^3}\end{array}\\ & ={\int }_1^2-\frac{1}{4}{u}^{-7}du\\ & ={\frac{1}{24}{u}^{-6}|}_1^2\\ & ={\frac{1}{24u^6}|}_1^2\\ & =\left(\frac{1}{24(2{)}^6}\right)-\left(\frac{1}{24(1{)}^6}\right)\\ & =-\frac{21}{512}\\ & \end{array}$

${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx$ (c)

$\begin{array}{rl}{\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx& \\ u=\ln x⟹& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\ & \Rightarrow dx=xdu\\ x=e\Rightarrow u& =\ln e=1\\ x=1⟹u& =\ln 1=0\\ {\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx& ={\int }_0^1\frac{u}{x}xdu\\ & ={\int }_0^{1}udu\\ & ={\frac{1}{2}{u}^2|}_0^1\\ & =\left(\frac{1}{2}\right(1{)}^2)-\left(\frac{1}{2}\right(0{)}^2)\end{array}$