أستعد لدراسة الوحدة 

الإحصاء و الاحتمالات 

إيجاد التوافيق

أجد قيمة كل مما يأتي:

$\left(\begin{array}{l}8\\ 5\end{array}\right)$ (1)

$\left(\begin{array}{l}8\\ 5\end{array}\right)=\frac{8!}{5!3!}=\frac{8\times 7\times 6}{6}=56$

$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}7\\ 0\end{array}\right)$ (2)

$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}7\\ 0\end{array}\right)=\frac{10!}{2!8!}-\frac{7!}{0!7!}=\frac{10\times 9}{2}-1=45-1=44$

$\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)}$ (3)

$\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)}=\frac{\frac{13!}{4!9!}}{\frac{11!}{7!4!}}=\frac{\frac{13\times 12\times 11\times 10}{4!}}{\frac{11\times 10\times 9\times 8}{4!}}=\frac{13}{6}$

المتغير العشوائي، وتوزيعه الاحتمالي

أجد قيم المتغير العشوائي، وتوزيعه الاحتمالي في كل مما يأتي:

(4) في تجربة إلقاء 3 قطع نقدية متمايزة مرة واحدة، دل المتغير العشوائي $Y$ على عدد مرات ظهور الصورة.

$\begin{array}{rl}& X\in \{0,1,2,3\}\\ & P(X=0)=P\left(TTT\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\\ & P(X=1)=P\left(\right\{HTT,THT,TTH\left\}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=3\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{8}\\ & P(X=2)=P\left(\right\{THH,HHT,HTH\left\}\right)=3\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{8}\\ & P(X=3)=P\left(HHH\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\end{array}$

(5) في تجربة إلقاء حجري نرد متمايزين معاً، دل المتغير العشوائي $X$ على الفرق المطلق للعددين الظاهرين على حجري النرد.

$\begin{array}{rl}& X\in \{0,1,2,3,4,5\}\\ & P(X=0)=P\left(\right\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\left\}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\\ & P(X=1)\\ & =P\left(\right\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)\left\}\right)\\ & =\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\\ & P(X=2)=P\left(\right\{(1,3),(2,4),(3,5),(3,1),(4,6),(4,2),(5,3),(6,4)\left\}\right)\\ & =\frac{8}{36}=\frac{2}{9}\\ & P(X=3)=P\left(\right\{(1,4),(2,5),(3,6),(4,1),(5,2),(6,3)\left\}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\\ & P(X=4)=P\left(\right\{(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)\left\}\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\\ & P(X=5)=P\left(\right\{(1,6),(6,1)\left\}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\\ & \end{array}$

توقع المتغير العشوائي، وتباينه، وانحرافه المعياري

(6) إذا كان للمتغير العشوائي $X$ التوزيع الاحتمالي الآتي:

فأجد كلاً من توقع المتغير العشوائي $X$، وتباينه.

$\begin{array}{rl}& E\left(x\right)=\sum xp\left(x\right)=0\left(\frac{1}{4}\right)+1\left(\frac{3}{8}\right)+2\left(\frac{1}{8}\right)+3\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}+\frac{6}{8}=\frac{11}{8}\\ & {\sigma }^2=E\left(x^2\right)-\left(E\right(x){)}^2=0^2\left(\frac{1}{4}\right)+1^2\left(\frac{3}{8}\right)+2^2\left(\frac{1}{8}\right)+3^2\left(\frac{1}{4}\right)-{\left(\frac{11}{8}\right)}^2\\ & =0+\frac{3}{8}+\frac{4}{8}+\frac{9}{8}-\frac{121}{64}=\frac{16}{8}-\frac{121}{64}=\frac{7}{64}\\ & \end{array}$