أتدرب وأحل المسائل

المعادلات الأسية

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد كلّ ممّا يأتي، مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة:

(1) log 19

log 19 ≈ 1.3

(2) log (2.5 x 10^-3)

log (2.5 x 10^-3) ≈ -2.6

(3) ln 3.1

ln 3.1 ≈ 1.1

(4) log₂ 10

log₂ 10 = $\frac{\log 10}{\log 2}$ ≈ 3.3

(5) log₃ e²

log₃ e² = $\frac{\ln e^2}{\ln 3}$ = $\frac{2}{\ln 3}$ ≈ 1.8

(6) ln 5

ln 5 ≈ 1.6

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي، مقرِّباً إلى أقرب جزء من مئة (إن لزم):

(7) log₃ 33

log₃ 33 = $\frac{\log 33}{\log 3}$ ≈ 3.18

(8) ${\log }_{\frac{1}{3}}$ 17

${\log }_{\frac{1}{3}}$ 17 = $\frac{\log 17}{\log {\displaystyle \frac{1}{3}}}$ = $\frac{\log 17}{\log 1 - \log 3}$ ≈ -2.58

(9) log₆ 5

log₆ 5 = $\frac{\log 5}{\log 6}$ ≈ 0.90

(10) log₇ $\frac{1}{7}$

log₇ $\frac{1}{7}$ = log₇ 1 – log₇ 7 = 0 – 1 = -1

(11) log 1000

log 1000 =  3

(12) log₃ 15

log₃ 15 = $\frac{\log 15}{\log 3}$ ≈ 2.46

أحل المعادلات الأسيّة الآتية، مُقرّباً إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

(13) 6^x = 121

log 6^x = log 121 →  x log 6 = log 121

→ x = $\frac{\log 121}{\log 6}$ ≈ 2.6766

(14) -3e^4x = -27

e^4x = 9

4^x = ln 9

x = $\frac{1}{4}$ ln 9 ≈ 0.5493 

(15) 5^7x-2 = 3^2x

log 5^{7x – 2} = log 3^2x

(7x – 2) log 5 = (2x) log 3

7x log 5 – 2 log 5 = 2 x log 3

7x log 5 – 2x log 3 = 2 log 5

x (7 log 5 – 2 log 3) = 2 log 5

x = $\frac{2 \log 5}{7 \log 5 - 2 \log 3}$ ≈ 0.3549 

(16) 25^x + 5^x – 42 = 0

(5^x)² + 5^x – 42 = 0

u² + u – 42 = 0

(u + 7) (u – 6) = 0

u = -7  or  u = 6

5^x = -7  or  5^x = 6

المعادلة 5^x = -7 ليس لها حل؛ لأن 5^x > 0 لكل قيم المتغير x

5^x = 6  →  x log5 = log 6  →  x = $\frac{\log 6}{\log 5}$ ≈ 1.1133

(17) 2(9)^x = 32

2(9)^x = 32  →  9^x = 16  →  x log 9 = log 16

   x = $\frac{\log 16}{\log 9}$ ≈ 1.2619

(18) 27^2x+3 = 2^x-5

log 27^2x+3 = log 2^x-5

(2x + 3) log 27 = (x – 5) log 2

2x log 27 + 3 log 27 = x log 2 – 5 log 2

2x log 27 - x log 2 = -3 log 27 – 5 log 2

x (2 log 27 - log 2) = -3 log 27 – 5 log 2

x = $\frac{-3 \log 27 -5 \log 2 }{2 \log 27 - \log 2}$ ≈ -2.2638

أودعت سميرة مبلغ P في حساب بنكي، بنسبة ربح مُركب مستمر مقدارها 5%:

(19) بعد كم سنة تصبح جملة المبلغ مثلي المبلغ الأصلي؟

2P = Pe^0.05t

2 = e^0.05t

0.05t = ln 2

t = $\frac{1}{0.05}$ ln 2 = 20 ln 2 ≈ 14

بعد 14 سنة تقريباً تصبح جملة المبلغ مثلي المبلغ الأصلي.

(20) بعد كم سنة تصبح جملة المبلغ 3 أمثال المبلغ الأصلي؟

3P = Pe^0.05t

3 = e^0.05t

0.05t = ln 3

t = 20 ln 3 ≈ 22

بعد 22 سنة تقريباً تصبح جملة المبلغ 3 أمثال المبلغ الأصلي.

(21) كوالا: تناقصت أعداد حيوان الكوالا في إحدى الغابات وفق الاقتران: N = 873e^-0.078t ، حيث N العدد المتبقي من هذا الحيوان في الغابة بعد t سنة. بعد كم سنة يصبح في الغابة 97 حيواناً من الكوالا؟

97 = 873e^-0.078t

$\frac{97}{873}$ = e^-0.078t

 $\frac{1}{9}$ = e^-0.078t

-0.078t = ln $\frac{1}{9}$

-0.078t = ln 1 – ln 9

-0.078t = 0 – ln 9

-0.078t = – ln 9

t = $\frac{\ln 9}{0.078}$ ≈ 28

بعد 28 سنة تقريباً يصبح في الغابة 3 حيواناً من الكوالا.