أتدرب وأحل المسائل

التوزيع الطبيعي المعياري

أجد كلاً مما يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$P(Z<0.68)$ (1)

$P(Z<0.68)=0.7517$

$P(Z<1.54)$ (2)

$P(Z<1.54)=0.9382$

$P(Z>0.27)$ (3)

$\begin{array}{rl}P(Z>0.27)& =1-P(Z<0.27)\\ & =1-0.6064\\ & =0.3936\end{array}$

$P(0.49<Z<2.9)$ (4)

$\begin{array}{rl}P(0.49<Z<2.9)& =P(Z<2.9)-P(Z<0.49)\\ & =0.9981-0.6879\\ & =0.3102\end{array}$

$P(-0.08<Z<0.8)$ (5)

$\begin{array}{rl}P(-0.08<Z<0.8)& =P(Z<0.8)-P(Z<-0.08)\\ & =P(Z<0.8)-(1-P(Z<0.08\left)\right)\\ & =0.7881-(1-0.5319)\\ & =0.9981-0.4681\\ & =0.5300\end{array}$

$P(0<Z<1.07)$ (6)

$\begin{array}{rl}P(0<Z<1.07)=& P(Z<1.07)-P(Z<0)\\ & =0.8577-0.5\\ & =0.3577\end{array}$

$P(Z<-1.25)$ (7)

$\begin{array}{rl}P(Z<-0.08)& =1-P(Z<0.08)\\ & =1-0.5319\\ & =0.4681\end{array}$

$P(Z>-1.99)$ (8)

$\begin{array}{rl}P(Z>-1.99)& =P(Z<1.99)\\ & =0.9767\end{array}$

$P(-0.5<Z<0)$ (9)

$\begin{array}{rl}P(-0.5<Z<0)& =P(Z<0)-P(Z<-0.5)\\ & =P(Z<0)-(1-P(Z<0.5\left)\right)\\ & =0.5-(1-0.6915)\\ & =0.5-0.3085\\ & =0.1915\end{array}$

$P(Z<0.43)$ (10)

$P(Z<0.43)=0.6664$

$P(Z>3.08)$ (11)

$\begin{array}{rl}P(Z>3.08)& =1-P(Z<3.08)\\ & =1-0.9990\\ & =0.0010\end{array}$

$P(Z<-2.03)$ (12)

$\begin{array}{rl}P(Z<-2.03)& =1-P(Z<2.03)\\ & =1-0.9788\\ & =0.0212\end{array}$

$P(Z>2.2)$ (13)

$\begin{array}{rl}P(Z>2.2)=& -P(Z<2.2)\\ & =1-0.9861\\ & =0.0139\end{array}$

$P(-0.72<Z<3.26)$ (14)

$\begin{array}{rl}P(-0.72<Z<3.26)& =P(Z<3.26)-P(Z<-0.72)\\ & =P(Z<3.26)-(1-P(Z<0.72\left)\right)\\ & =0.9994-(1-0.7642)\\ & =0.9994-0.2358\\ & =0.7636\end{array}$

$P(1.5<Z<2.5)$ (15)

$\begin{array}{rl}P(1.5<Z<2.5)& =P(Z<2.5)-P(Z<1.5)\\ & =0.9938-0.9332\\ & =0.0606\end{array}$

أجد مساحة المنطقة المظللة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري في كل مما يأتي:

$\begin{array}{rl}P(Z>2)=1& -P(Z<2)\\ =& 1-0.9772\\ =& 0.0228\end{array}$

$\begin{array}{rl}P(-2.25<Z<0)& =P(Z<0)-P(Z<-2.25)\\ & =P(Z<0)-(1-P(Z<2.25\left)\right)\\ & =0.5-(1-0.9878)\\ & =0.5000-0.0122\\ & =0.4878\end{array}$

أجد قيمة $\mathit{a}$ التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يأتي:

$P(Z<a)=0.7642$ (18)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<z)\\ & \Rightarrow 0.7642=P(Z<z)\\ & \Rightarrow z=0.72\\ & \Rightarrow a=0.72\end{array}$

$P(Z<a)=0.13$ (19)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $-z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<-z)\\ & \Rightarrow 0.13=P(Z<-z)\\ & \Rightarrow 0.13=1-P(Z<z)\\ & P(Z<z)=1-0.13\\ & P(Z<z)=0.87\\ & \Rightarrow z=1.12\\ & \Rightarrow a=-1.12\end{array}$

$P(Z>a)=0.8531$ (20)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $-z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z>a)=P(Z>-z)\\ & \Rightarrow 0.8531=P(Z>-z)\\ & \Rightarrow 0.8531=P(Z<z)\\ & \Rightarrow P(Z<z)=0.8531\\ & \Rightarrow z=1.05\\ & \Rightarrow a=-1.05\end{array}$

$P(Z>a)=0.372$ (21)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z>a)=P(Z>z)\\ & \Rightarrow 0.372=P(Z>z)\\ & \Rightarrow 0.372=1-P(Z<z)\\ & \Rightarrow P(Z<z)=1-0.372\\ & \Rightarrow P(Z<z)=0.628\\ & \Rightarrow z=0.32\\ & \Rightarrow a=-0.32\end{array}$