مهارات التفكير العليا

التوزيع الطبيعي المعياري

(22) أكتشف الخطأ: عبرت روان عن المتغير العشوائي الطبيعي المعياري على النحو الآتي:

أكتشف جميع الأخطاء التي وقعت فيها روان، ثم أصححها.

$Z~N(0,1)$

(23) تحد: إذا كان $a>0$، فأثبت أن: $P(-a<Z<a)=2P(Z<a)-1$.

$\begin{array}{rl}P(-a<Z<a)& =P(Z<a)-P(Z<-a)\\ & =P(Z<a)-(1-P(Z<a\left)\right)\\ & =P(Z<a)-1+P(Z<a)\\ & =2P(Z<a)-1\end{array}$

تبرير: أجد قيمة $\mathit{a}$ التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يأتي، مبرراً إجابتي:

$P(0<Z<a)=0.45$ (24)

$\begin{array}{rl}& P(0<Z<a)=0.45\\ & \Rightarrow P(Z<a)-P(Z<0)=0.45\\ & \Rightarrow P(Z<a)-0.5=0.45\\ & \Rightarrow P(Z<a)=0.95\end{array}$

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5 ، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<z)\\ & \Rightarrow 0.95=P(Z<z)\\ & \Rightarrow z=1.64\\ & \Rightarrow a=1.64\end{array}$

$P(-a<Z<a)=0.1272$ (25)

$\begin{array}{rl}& P(-\alpha <Z<\alpha )=0.1272\\ & \Rightarrow P(Z<a)-P(Z<-a)=0.1272\\ & \Rightarrow P(Z<a)-1+P(Z<a)=0.1272\\ & \Rightarrow 2P(Z<a)-1=0.1272\\ & \Rightarrow 2P(Z<a)=1.1272\\ & \Rightarrow P(Z<a)=0.5636\end{array}$

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5 ، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<z)\\ & \Rightarrow 0.5636=P(Z<z)\\ & \Rightarrow z=0.16\\ & \Rightarrow a=0.16\end{array}$