أتحقق من فهمي

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

أتحقق من فهمي صفحة 30

مشتقة ضرب اقترانين

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = (x³ – 2x² + 3) (7x² – 4x)

f ’(x) = (x³ – 2x² + 3) (14x – 4) + (7x² – 4x) (3x² – 4x)

f ’(x) = 14x⁴ – 4x³ – 28x³ + 8x² + 42x – 12 + 21x⁴ – 12x³ + 16x²

f ’(x) = 35x⁴ – 72x³ + 24x² + 42x - 12

(b) f(x) = ln x cos x

f ’(x) = (ln x) (-sin x) + (cos x) ($\frac{1}{x}$) = - ln x sin x + $\frac{\cos x}{x}$

أتحقق من فهمي صفحة 32

مشتقة قسمة اقترانين

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = $\frac{x + 1}{2x + 1}$

f ’(x) = $\frac{(2x + 1) \left(1\right) - (x + 1) \left(2\right)}{{(2x + 1)}^2}$ = $\frac{-1}{{(2x + 1)}^2}$

(b) f(x) = $\frac{\sin x}{e^x}$

f ’(x) = $\frac{e^x (\cos x) - (\sin x) e^x}{e^{2x}}$ = $\frac{\cos x - \sin x }{e^x}$

أتحقق من فهمي صفحة 34

مشتقة قسمة اقترانين

سكان: يعطى عدد سكان مدينة صغيرة بالاقتران: $\frac{500t^2}{2t + 9}$ P(t) =، حيث t الزمن بالسنوات، و P عدد السكان بالآلاف:

(a) أجد معدل تغير عدد السكان في المدينة بالنسبة إلى الزمن.

P’(t) = $\frac{(2t + 9) \left(1000t\right) - \left(500t^2\right) \left(2\right)}{{(2t + 9)}^2}$ = $\frac{9000t + 1000t^2}{{(2t + 9)}^2}$

(b) أجد معدل تغير عدد السكان في المدينة عندما t = 12 مفسراً معنى الناتج.

P’(12) = $\frac{9000\left(12\right) + 1000{\left(12\right)}^2}{{(24 + 9)}^2}$ ≈ 231.405

إذن في السنة 12 يتزايد عدد سكان هذه المدينة بمعدل 231 ألف نسمة سنوياً تقريباً.

أتحقق من فهمي صفحة 35

مشتقة المقلوب

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = $\frac{1}{5x - x^2}$

f ’(x) = $\frac{-(5 - 2x)}{{(5x - x^2)}^2}$ = $\frac{2x - 5}{{(5x - x^2)}^2}$

(b) f(x) = $\frac{1}{e^x - \sqrt{x}}$

f ’(x) = $\frac{- (e^x + {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}})}{{(e^x + \sqrt{x})}^2}$ = - $\frac{2\sqrt{x} e^{x }+ 1}{2\sqrt{x} {(e^{x }+ \sqrt{x})}^2}$

أتحقق من فهمي صفحة 37

مشتقة الاقترانات المثلثية

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = x cot x

f ’(x) = (x) (-csc² x) + (cot x) (1) = -x csc² x + cot x

(b) f(x) = $\frac{\tan x}{1 + \sin x}$

f ’(x) = $\frac{(1 + \sin x) ({\sec }^2 x) - (\tan x) (\cos x)}{{(1 + \sin x)}^2}$ 

f ’(x) = $\frac{{\sec }^2 x + \sin x {\sec }^2 x - \sin x}{{(1 + \sin x)}^2}$

أتحقق من فهمي صفحة 38

المشتقة العليا

أجد المشتقات الثلاث الأولى للاقتران: $\frac{\sin x}{x}$ f(x) =

f ’(x) = $\frac{\left(x\right) (\cos x) - (\sin x) \left(1\right)}{x^2}$ = $\frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$  = $\frac{\cos x }{x}$ - $\frac{\sin x }{x^2}$

f ’’(x) = $\frac{\left(x\right) (-\sin x) - (-\cos x) \left(1\right)}{x^2}$ - $\frac{\left(x^2\right) (\cos x) - (\sin x) \left(2x\right)}{x^4}$

f ’’(x) = $\frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$ - $\frac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4}$

f ’’(x) = $\frac{-x^2 \sin x - 2x \cos x + 2 \sin x}{x^3}$ 

f ’’’(x) = $\frac{-x^3 \cos x - 3x^2 \sin x + 6 x \cos x - 6 \sin x}{x^4}$ 

ويمكن التوصل إلى الإجابة نفسها بتحويل الاقتران إلى f(x) = x^-1 sin x وتطبيق قاعدة مشتقة ضرب اقترانين.