مهارات التفكير العليا

التكامل بالأجزاء

(37) تبرير: أثبت أن: ${\int }_{1/2}^3{x}^2\ln 2xdx=9\ln 6-\frac{215}{72}$.

$\begin{array}{rl}& u=\ln 2xdv=x^{2}dx\\ & du=\frac{1}{x}dxv=\frac{1}{3}{x}^3\\ & {\int }_{\frac{1}{2}}^3{x}^2\ln 2xdx={\frac{1}{3}{x}^3\ln 2x|}_{\frac{1}{2}}^3-{\int }_{\frac{1}{2}}^3\frac{1}{3}{x}^{2}dx\\ & ={\frac{1}{3}{x}^3\ln 2x|}_{\frac{1}{2}}^3-{\frac{1}{9}{x}^3|}_{\frac{1}{2}}^3\\ & =9\ln 6-3+\frac{1}{72}=9\ln 6-\frac{215}{72}\end{array}$

(38) تبرير: أثبت أن: ${\int }_0^{\pi /4}x\sin 5x\sin 3xdx=\frac{\pi -2}{16}$.

$\begin{array}{rl}& u=xdv=\sin 5x\sin 3xdx=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 8x)dx\\ & du=dxv=\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{16}\sin 8x\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x\sin 5x\sin 3xdx\\ & ={x(\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{16}\sin 8x)|}_0^{\frac{\pi }{4}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{16}\sin 8x)dx\\ & ={x(\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{16}\sin 8x)|}_0^{\frac{\pi }{4}}-{(-\frac{1}{8}\cos 2x+\frac{1}{128}\cos 8x)|}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =\frac{\pi }{4}\left(\frac{1}{4}\right)+0-\frac{1}{128}-\frac{1}{8}+\frac{1}{128}=\frac{\pi -2}{16}\end{array}$

(39) تبرير: إذا كان: ${\int }_0^{a}x{e}^{x/2}dx=6$، فأثبت أن $a$ يحقق المعادلة: $x=2+e^{-x/2}$.

$\begin{array}{rl}& u=xdv=e^{\frac{1}{{\overline{2}}^x}}dx\\ & du=dxv=2e^{\frac{1}{2^x}}\\ & {\int }_0^{a}x{e}^{\frac{1}{2^2}x}dx={2x{e}^{\frac{1}{2^2}}|}_0^a-{\int }_0^{a}2e^{\frac{1}{2}x}dx\\ & ={2x{e}^{\frac{1}{2}x}|}_0^a-{4e^{\frac{1}{2}x}|}_0^a\\ & =2a{e}^{\frac{1}{z^a}}-4e^{\frac{1}{2^a}}+4\\ & \Rightarrow 2a{e}^{\frac{1}{2^a}}-4e^{\frac{1}{2^a}}+4=6\\ & 2\alpha e^{\frac{1}{{\overline{2}}^a}}=4e^{\frac{1}{{\overline{2}}^a}}+2\end{array}$

بقسمة طرفي المعادلة على $2e^{\frac{1}{2}a}$ نحصل على:

$a=2+e^{-\frac{1}{2}a}$

لذا فإن $a$ يحقق المعادلة $x=2+e^{-\frac{x}{2}}$

(40) تبرير: أجد: $\int (\ln x{)}^{2}dx$ بطريقتين مختلفتين، مبرراً إجابتي.

الطريقة الأولى بالتعويض:

$\begin{array}{rl}& u=\ln x\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=xdu,x=e^u\\ & \int (\ln x{)}^{2}dx=\int u^{2}xdu=\int u^2{e}^{u}du\end{array}$

بالأجزاء مرتين، نستخدم الجدول:

$\begin{array}{rl}& \int u^2{e}^{u}du=e^u(u^2-2u+2)+C\\ & \int (\ln x{)}^{2}dx=e^{\ln x}\left(\right(\ln x{)}^2-2\ln x+2)+C\\ & =x\left(\right(\ln x{)}^2-2\ln x+2)+C\end{array}$

الطريقة الثانية: بالأجزاء مباشرة: 

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& u=(lnx{)}^{2}dv=dx\\ & du=\frac{2lnx}{x}dxv=x\\ & \int (lnx{)}^{2}dx=x(lnx{)}^2-\int 2lnxdx\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=2lnxdv=dx\\ & du=\frac{2}{x}dxv=x\\ & \int (lnx{)}^{2}dx=x(lnx{)}^2-2xlnx+\int 2dx\\ & =x(lnx{)}^2-2xlnx+2x+C\end{array} \end{gathered}$$

تبرير: إذا كان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران: $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{x}}$ حيث: $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(41) أجد مساحة كل من المنطقة $R_1$، والمنطقة $R_2$.

$A_1=-{\int }_{-\frac{1}{2}}^{0}x{e}^{2x}dx,A_2={\int }_0^{\frac{1}{2}}x{e}^{2x}dx$

نجد التكامل غير المحدود $\int x{e}^{2x}dx$ بالأجزاء:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rlrl}u& =x& dv& =e^{2x}dx\\ du& =dx& v& =\frac{1}{2}{e}^{2x}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int \begin{array}{rl}& \int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx\\ & =\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C\\ & =\frac{1}{4}{e}^{2x}(2x-1)+C\\ & \Rightarrow A\left(R_1\right)=-{\frac{1}{4}{e}^{2x}(2x-1)|}_{\frac{1}{2}}^0=\frac{1}{4}-\frac{1}{2e}=\frac{e-2}{4e}\\ & A\left(R_2\right)={\frac{1}{4}{e}^{2x}(2x-1)|}_0^{\frac{1}{2}}=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

(42) أثبت أن مساحة المنطقة $R_1$ إلى مساحة المنطقة $R_2$ تساوي $(e-2):e$.

$\begin{array}{rl}& \frac{A\left(R_1\right)}{A\left(R_2\right)}=\frac{\frac{e-2}{4e}}{\frac{1}{4}}=\frac{e-2}{e}\\ & A\left(R_1\right):A\left(R_{12}\right)=(e-2):e\end{array}$

تحد: استعمل التكامل بالأجزاء لإثبات كل مما يأتي، حيث: $\mathit{n}$ عدد صحيح موجب، و$\mathit{a}\mathbf{\ne }\mathbf{0}$:

$\int x^n\ln xdx=\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}(-1+(n+1)\ln x)+C$ (43)

$\begin{array}{rl}& u=\ln xdv=x^{n}dx\\ & du=\frac{1}{x}dxv=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}\\ & \int x^n\ln xdx=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\int \frac{1}{n+1}{x}^{n}dx\\ & =\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{1}{(n+1{)}^2}{x}^{n+1}+C\\ & =\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}(-1+(n+1)\ln x)+C\end{array}$

$\int x^n{e}^{ax}dx=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{e}^{ax}dx$ (44)

$\begin{array}{rl}& u=x^{n}dv=e^{ax}dx\\ & du=n{x}^{n-1}dxv=\frac{1}{a}{e}^{ax}\\ & \int x^n{e}^{ax}dx=\frac{1}{a}{x}^n{e}^{ax}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{e}^{ax}dx\end{array}$