أتحقق من فهمي

التكامل بالأجزاء

التكامل بالأجزاء

أتحقق من فهمي صفحة (63):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int x\sin xdx$ (a)

$\begin{array}{ll}u=x& dv=\sin xdx\\ du=dx& v=-\cos x\\ \int x\sin xdx& =-x\cos x-\int -\cos xdx\\ & =-x\cos x+\sin x+C\end{array}$

$\int x^2\ln xdx$ (b)

$\begin{array}{rl}& u=\ln xdv=x^{2}dx\\ & du=\frac{1}{x}dxv=\frac{1}{3}{x}^3\\ & \int x^2\ln xdx=\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\int \frac{1}{3}{x}^{2}dx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\frac{1}{9}{x}^3+C\end{array}$

$\int 2x\sqrt{7-3x}dx$ (c)

ملاحظة: يمكن حل هذه المسألة بطريقة التعويض $u=7-3x \mathrm{أو} u=\sqrt{7-3x}$

وتالياً حلها بالأجزاء:

$\begin{array}{rl}& u=xdv=(7-3x{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & du=dxv=-\frac{2}{9}(7-3x{)}^{\frac{3}{2}}\\ & \int x\sqrt{7-3x}dx=-\frac{2}{9}x(7-3x{)}^{\frac{3}{2}}-\int -\frac{2}{9}(7-3x{)}^{\frac{3}{2}}dx\\ & =-\frac{2}{9}x(7-3x{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{135}(7-3x{)}^{\frac{5}{2}}+C\end{array}$

$\int 3x{e}^{4x}dx$ (d)

$\begin{array}{rl}& u=3xdv=e^{4x}dx\\ & du=3dxv=\frac{1}{4}{e}^{4x}\\ & \int 3x{e}^{4x}dx=\frac{3}{4}x{e}^{4x}-\int \frac{3}{4}{e}^{4x}dx\\ & =\frac{3}{4}x{e}^{4x}-\frac{3}{16}{e}^{4x}+C\end{array}$

تكرار التكامل بالأجزاء

أتحقق من فهمي صفحة (64):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int x^2\sin xdx$ (a)

$$\begin{gathered} \begin{array}{lr}u=x^2& dv=sinxdx\\ du=2xdx& v=-cosx\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int x^{2}sinxdx=-x^{2}cosx-\int -2xcosxdx\\ & \int x^{2}sinxdx=-x^{2}cosx+\int 2xcosxdx\\ & u=2xdv=cosxdx\\ & du=2dxv=sinx\\ & \int x^{2}sinxdx=-x^{2}cosx+2xsinx-\int 2sinxdx\\ & =-x^{2}cosx+2xsinx+2cosx+C\end{array} \end{gathered}$$

$\int x^3{e}^{4x}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& u=x^{3}dv=e^{4x}dx\\ & du=3x^{2}dxv=\frac{1}{4}{e}^{4x}\\ & \int x^3{e}^{4x}dx=\frac{1}{4}{x}^3{e}^{4x}-\int \frac{3}{4}{x}^2{e}^{4x}dx\\ & u=\frac{3}{4}{x}^{2}dv=e^{4x}dx\\ & du=\frac{3}{2}xdxv=\frac{1}{4}{e}^{4x}\\ & \int x^3{e}^{4x}dx=\frac{1}{4}{x}^3{e}^{4x}-\frac{3}{16}{x}^2{e}^{4x}+\int \frac{3}{8}x{e}^{4x}dx\\ & u=\frac{3}{8}xdv=e^{4x}dx\\ & du=\frac{3}{8}dxv=\frac{1}{4}{e}^{4x}\\ & \int x^3{e}^{4x}dx=\frac{1}{4}{x}^3{e}^{4x}-\frac{3}{16}{x}^2{e}^{4x}+\frac{3}{32}x{e}^{4x}-\int \frac{3}{32}{e}^{4x}dx\\ & =\frac{1}{4}{x}^3{e}^{4x}-\frac{3}{16}{x}^2{e}^{4x}+\frac{3}{32}x{e}^{4x}-\frac{3}{128}{e}^{4x}+C\end{array}$

التكاملات الدورية

أتحقق من فهمي صفحة (66):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{\sin x}{e^x}dx$ (a)

$$\begin{gathered} \begin{array}{cr}\int \frac{sinx}{e^x}dx=\int sinx{e}^{-x}dx& \\ u=sinx& dv=e^{-x}dx\\ du=cosxdx& v=-e^{-x}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int sinx{e}^{-x}dx=-sinx{e}^{-x}-\int -e^{-x}cosxdx\\ & \int sinx{e}^{-x}dx=-sinx{e}^{-x}+\int e^{-x}cosxdx\\ & u=cosxdv=e^{-x}dx\\ & du=-sinxdxv=-e^{-x}\\ & \int sinx{e}^{-x}dx=-sinx{e}^{-x}+e^{-x}cosx-\int e^{-x}sinxdx\\ & \Rightarrow 2\int sinx{e}^{-x}dx=e^{-x}(-sinx+cosx)+C\\ & \int sinx{e}^{-x}dx=\frac{1}{3}{e}^{-x}(-sinx+cosx)+C\end{array} \end{gathered}$$

$\int {\sec }^{3}xdx$ (b)

$\begin{array}{rl}& u=\sec xdv={\sec }^{2}xdx\\ & du=\sec x\tan xdxv=\tan x\\ & \int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int \sec x{\tan }^{2}xdx\\ & =\sec x\tan x-\int \sec x({\sec }^{2}x-1)dx\\ & =\sec x\tan x-\int {\sec }^{3}xdx+\int \sec xdx\\ & 2\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x+\int \sec xdx\\ & =\sec x\tan x+\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx\\ & =\sec x\tan x+\int \frac{{\sec }^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx\\ & =\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|\\ & \int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x\left|\right)+C\end{array}$

تكرار التكامل بالأجزاء باستعمال طريقة الجدول

أتحقق من فهمي صفحة (67):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int x^4\cos 4xdx$ (a)

نفرض أن: $f\left(x\right)=x^4,g\left(x\right)=\cos 4x$، استخدم طريقة الجدول للتكامل بالأجزاء:

$\begin{array}{rl}& \int x^4\cos 4xdx=\\ & \frac{1}{4}{x}^4\sin 4x+\frac{1}{4}{x}^3\cos 4x-\frac{3}{16}{x}^2\sin 4x-\frac{3}{32}x\cos 4x+\frac{3}{128}\sin 4x+C\end{array}$

$\int x^5{e}^{x}dx$ (b)

نفرض أن: $f\left(x\right)=x^5,g\left(x\right)=e^x$، استخدم طريقة الجدول للتكامل بالأجزاء:

$\int x^5{e}^{x}dx=e^x(x^5-5x^4+20x^3-60x^2+120x-120)+C$

أتحقق من فهمي صفحة (68):

التكلفة الحدية: يمثل الاقتران: $C^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(0.1x+1)e^{0.03x}$ التكلفة الحدية لكل قطعة (بالدينار) تنتج في إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المنتجة، و$C\left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار. أجد اقتران التكلفة $C\left(x\right)$، علماً بأن $C\left(10\right)=200$.

$\begin{array}{rl}& C\left(x\right)=\int (0.1x+1)e^{0.03x}dx\\ & \begin{array}{c}u=0.1x+1dv=e^{0.03x}dx\\ du=0.1dxv=\frac{1}{0.03}{e}^{0.03x}\\ \begin{array}{r}\int (0.1x+1)e^{0.03x}dx=(0.1x+1)\left(\frac{1}{0.03}{e}^{0.03x}\right)-\int \frac{0.1}{0.03}{e}^{0.03x}dx\\ =\frac{10}{3}(x+10)e^{0.03x}-\frac{1000}{9}{e}^{0.03x}+C\end{array}\\ C\left(10\right)=\frac{200}{3}{e}^{0.3}-\frac{1000}{9}{e}^{0.3}+C=200\Rightarrow C\approx 260\\ \Rightarrow C\left(x\right)=\frac{10}{3}{e}^{0.03x}(x-\frac{70}{3})+260\end{array}\end{array}$

التكامل بالأجزاء لتكاملات محدودة

أتحقق من فهمي صفحة (70):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

${\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx$ (a)

$\begin{array}{lc}u=\ln x& dv=x^{-2}dx\\ du=\frac{1}{x}dx& v=-\frac{1}{x}\\ {\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx& =-{\frac{\ln x}{x}|}_1^e+{\int }_1^e{x}^{-2}dx\\ & =-{\frac{\ln x}{x}|}_1^e+{(-\frac{1}{x})|}_1^e\\ & =-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=1-\frac{2}{e}\end{array}$

${\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx$ (b)

$\begin{array}{lc}u=x& dv=e^{-2x}dx\\ du=dx& v=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\\ {\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx& =-{\frac{1}{2}x{e}^{-2x}|}_0^1+{\int }_0^1\frac{1}{2}{e}^{-2x}dx\\ & =-{\frac{1}{2}x{e}^{-2x}|}_0^1+-{\frac{1}{4}{e}^{-2x}|}_0^1\\ & =-\frac{e^{-2}}{2}-\frac{e^{-2}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4e^2}\end{array}$

التكامل بالأجزاء، والتكامل بالتعويض

أتحقق من فهمي صفحة (71):

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

$\int (x^3+x^5)\sin x^{2}dx$ (a)

$\int (x^3+x^5)\sin x^{2}dx=\int x^3\sin x^{2}dx+\int x^5\sin x^{2}dx$

نجد كل تكامل على حدة. فنجد التكامل الأيسر كما يأتي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y=x^2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{dy}{2x}\\ & \int x^{3}sin{x}^{2}dx=\int x^{3}siny\frac{dy}{2x}=\frac{1}{2}\int x^{2}sinydy\\ & =\frac{1}{2}\int ysinydy\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=ydv=siny\\ & du=dyv=-cosy\\ & \int ysinydy=-ycosy-\int -cosydy\\ & \int x^{3}sin{x}^{2}dx=-\frac{1}{2}{x}^{2}cos{x}^2+\frac{1}{2}sin{x}^2+C\end{array} \end{gathered}$$

ونجد التكامل الأيمن كما يأتي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\int x^{5}sin{x}^{2}dx=\int x^{5}siny\frac{dy}{2x}& =\frac{1}{2}\int x^{4}sinydy\\ & =\frac{1}{2}\int y^{2}sinydy\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=y^{2}dv=siny\\ & du=2ydyv=-cosy\\ & \int y^{2}sinydy=-y^{2}cosy-\int -2ycosydy\\ & =-y^{2}cosy+2ysiny-2\int sinydy\\ & =-y^{2}cosy+2ysiny+2cosy\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int x^{5}sin{x}^{2}dx=\frac{-1}{2}{x}^{4}cos{x}^2+x^{2}sin{x}^2+cos{x}^2+C\\ & \int (x^3+x^5)sin{x}^{2}dx=-\frac{1}{2}{x}^{2}cos{x}^2+\frac{1}{2}sin{x}^2-\frac{1}{2}{x}^{4}cos{x}^2\\ & +x^{2}sin{x}^2+cos{x}^2+C\end{array} \end{gathered}$$

$\int x^5{e}^{x^2}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& y=x^2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{dy}{2x}\\ & \int x^5{e}^{x^2}dx=\int x^5{e}^y\frac{dy}{2x}=\int \frac{1}{2}{x}^4{e}^{y}dy=\frac{1}{2}\int y^2{e}^{y}dy\\ & u=y^{2}dv=e^{y}dy\\ & du=2ydyv=e^y\\ & \int y^2{e}^{y}dy=y^2{e}^y-\int 2y{e}^{y}dy\\ & =y^2{e}^y-2y{e}^y+\int 2e^{y}dy\\ & =y^2{e}^y-2y{e}^y+2e^y=(y^2-2y+2)e^y\\ & \int x^5{e}^{x^2}dx=(\frac{1}{2}{x}^4-x^2+1)e^{x^2}+C\end{array}$