أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المتجهات في الفضاء

نظام الأحداثيات ثلاثي الأبعاد

أتحقق من فهمي صفحة (111):

أعين كلاً من النقاط الآتية في نظام الأحداثيات ثلاثي الأبعاد:

$(- 3, 2, 4)$ (a)

$(1, 0, - 4)$ (b)

حل b

$(5, - 4, - 2)$ (c)

$(- 4, - 2, 3)$ (d)

المسافة بين نقطتين، وإحداثيات نقطة المنتصف في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (113):

إذا كانت: $N (2, 1, - 6), M (5, - 3, 6)$ ، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) المسافة بين N وM.

$\begin{aligned} N M & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (- 3 - 1)^{2} + (6 - (- 6))^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \end{aligned}$

(b) إحداثيات نقطة منتصف $\bar{M N}$ .

لتكن K منتصف القطعة المستقيمة $\bar{M N}$ ، فتكون:

$K = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2}) = (\frac{2 + 5}{2}, \frac{1 - 3}{2}, \frac{- 6 + 6}{2}) = (\frac{7}{2}, - 1, 0)$

مقدار المتجه في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (114):

إذا كان: $A (- 1, 5, 3), B (- 5, 3, - 2)$ ، فأكتب المتجه $\vec{A B}$ بالصورة الإحداثية، ثم أجد مقداره.

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1} ⟩ = ⟨ - 5 - (- 1), 3 - 5, - 2 - 3 ⟩ = ⟨ - 4, - 2, - 5 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \end{aligned}$

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي هندسياً

أتحقق من فهمي صفحة (116):

في متوازي الأضلاع ABCD المجاور، إذا كانت F نقطة منتصف $\bar{B C}$ ، وG نقطة منتصف $\bar{D C}$ ، وكانت: $\vec{B D} = \vec{a}$ ، وكانت: $\vec{A D} = \vec{b}$ ، وكانت: $A E = 3 E B$ ، فاكتب كلاً مما يأتي بدلالة $\vec{a}$ و $\vec{b}$ :

$\vec{A B}$ (a)

$\begin{aligned} \vec{A B} & = \vec{A D} + \vec{D B} \\ = \vec{b} + (- \vec{a}) \\ = \vec{b} - \vec{a} \end{aligned}$

$\vec{E B}$ (b)

$\begin{aligned} A B = A E + E B = 3 E B + E B = 4 E B \Rightarrow E B = \frac{1}{4} A B \\ \vec{E B} = \frac{1}{4} \vec{A B} \\ \Rightarrow \vec{E B} = \frac{1}{4} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{a} \end{aligned}$

$\vec{E F}$ (c)

$\vec{E F} = \vec{E B} + \vec{B F} = \vec{E B} + \frac{1}{2} \vec{B C}$

وذلك لأن $\vec{B C} = \vec{A D}$ كون الشكل متوازي الأضلاع $= \vec{E B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

$\begin{aligned} = \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \\ = \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{a} \end{aligned}$

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي جبرياً

أتحقق من فهمي صفحة (117):

إذا كان: $\vec{u} = ⟨ 4, 5, - 3 ⟩, \vec{v} = ⟨ 3, 0, - 5 ⟩, \vec{w} = ⟨ 9, - 2, - 5 ⟩$ ، فأجد كلاً مما يأتي:

$3 \vec{v} - 4 \vec{u}$ (a)

$\begin{aligned} 3 \vec{v} - 4 \vec{u} & = 3 ⟨ 3, 0, - 5 ⟩ - 4 ⟨ 4, 5, - 3 ⟩ \\ = ⟨ 9, 0, - 15 ⟩ - ⟨ 16, 20, - 12 ⟩ = ⟨ - 7, - 20, - 3 ⟩ \end{aligned}$

$3 \vec{u} + 5 \vec{v} - 2 \vec{w}$ (b)

$\begin{aligned} 3 \vec{u} + 5 \vec{v} - 2 \vec{w} & = 3 ⟨ 4, 5, - 3 ⟩ + 5 ⟨ 3, 0, - 5 ⟩ - 2 ⟨ 9, - 2, - 5 ⟩ \\ = ⟨ 12, 15, - 9 ⟩ + ⟨ 15, 0, - 25 ⟩ + ⟨ - 18, 4, 10 ⟩ = ⟨ 9, 19, - 24 ⟩ \end{aligned}$

تساوي المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (117):

إذا كان: $\vec{u} = ⟨ 20, 2 p - 5, - 12 ⟩, \vec{v} = ⟨ 3 q + 8, 0, 3 r ⟩$ ، وكان: $\vec{u} = \vec{v}$ ، فأجد قيمة كل من $r, q, p$ .

$\begin{aligned} \vec{u} = \vec{v} & \Rightarrow 20 = 3 q + 8, 2 p - 5 = 0, - 12 = 3 r \\ \Rightarrow q = 4, p = \frac{5}{2}, r = - 4 \end{aligned}$

متجها الموقع والإزاحة

أتحقق من فهمي صفحة (119):

إذا كانت: $A (- 2, 8, 13), B (5, - 7, - 9), C (0, 1, - 14)$ نقاطاً في الفضاء، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) متجه موقع كل من النقاط: A وB وC.

$\vec{O A} = ⟨ - 2, 8, 13 ⟩, \vec{O B} = ⟨ 5, - 7, - 9 ⟩, \vec{O C} = ⟨ 0, 1, - 14 ⟩$

(b) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة C.

$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = ⟨ - 5, 8, - 5 ⟩$

(c) المسافة بين النقطة A والنقطة C.

$\begin{aligned} A C & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(0 - (- 2))^{2} + (1 - 8)^{2} + (- 14 - 13)^{2}} = \sqrt{4 + 49 + 729} = \sqrt{782} \end{aligned}$

كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية

أتحقق من فهمي صفحة (121):

اكتب كلاً من المتجهات الآتية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

$\vec{g} = ⟨ 9, 0, - 4 ⟩$ (a)

$\vec{g} = 9 \hat{i} - 4 \hat{k}$

$\vec{A B} : A (2, - 1, 4), B (7, 6, - 2)$ (b)

$\vec{A B} = ⟨ 7 - 2, 6 - (- 1), - 2 - 4 ⟩ = ⟨ 5, 7, - 6 ⟩ = 5 \hat{ı} + 7 \hat{ȷ} - 6 \hat{k}$

$4 \vec{m} - 5 \vec{f} : \vec{m} = - 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}, \vec{f} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 6 \hat{k}$ (c)

$\begin{aligned} 4 \vec{m} - 5 \vec{f} = & 4 (- 2 \hat{i} + 3 \hat{ȷ} - 4 \hat{k}) - 5 (3 \hat{i} - 5 \hat{ȷ} + 6 \hat{k}) \\ = (- 8 - 15) \hat{i} + (12 + 25) \hat{ȷ} + (- 16 - 30) \hat{k} \\ = - 23 \hat{i} + 37 \hat{ȷ} - 46 \hat{k} \end{aligned}$

إيجاد متجه وحدة في اتجاه أي متجه

أتحقق من فهمي صفحة (122):

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه مما يأتي:

$\vec{u} = ⟨ 4, - 3, 5 ⟩$ (a)

$\begin{aligned} | \vec{u} | & = \sqrt{16 + 9 + 25} \\ = \sqrt{50} \\ = 5 \sqrt{2} \\ \hat{u} & = \frac{1}{5 \sqrt{2}} \vec{u} = ⟨ \frac{4}{5 \sqrt{2}}, \frac{- 3}{5 \sqrt{2}}, \frac{5}{5 \sqrt{2}} ⟩ \\ = ⟨ \frac{2}{5} \sqrt{2}, \frac{- 3}{5 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} ⟩ \end{aligned}$

وهذا متجه وحدة في $\vec{u}$

$\vec{v} = 8 \hat{i} + 15 \hat{j} - 17 \hat{k}$ (b)

$\begin{aligned} | \vec{v} | = \sqrt{64 + 225 + 289} \\ = \sqrt{578} = 17 \sqrt{2} \\ \begin{aligned} \hat{v} = & \frac{1}{17 \sqrt{2}} \vec{v} = \frac{8}{17 \sqrt{2}} \hat{i} + \frac{15}{17 \sqrt{2}} \hat{j} - \frac{17}{17 \sqrt{2}} \hat{k} \\ = \frac{8}{17 \sqrt{2}} \hat{i} + \frac{15}{17 \sqrt{2}} \hat{l} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k} \end{aligned} \end{aligned}$

وهذا متجه وحدة في $\vec{v}$

$\vec{A B} : A (- 1, 4, 6), B (3, 3, 8)$ (c)

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ 3 - (- 1), 3 - 4, 8 - 6 ⟩ = ⟨ 4, - 1, 2 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \end{aligned}$

ليكن $\hat{u}$ متجه وحدة في اتجاه $\vec{A B}$ ، فيكون:

$\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{21}} \vec{A B} = ⟨ \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{- 1}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}} ⟩$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025