مهارات التفكير العليا

المتجهات في الفضاء

(41) أكتشف الخطأ: قالت حنان: "إذا كانت النقطة $A(7,-3,3)$ تقع على كرة مركزها نقطة الأصل، فإن النقطة $B(2,-8,-1)$ تقع خارج هذه الكرة"، في حين قالت هديل: "النقطة B تقع داخل هذه الكرة"، أيّ القولين صحيح، مبرراً إجابتي.

بما أن مركز الكرة هو $O(0,0,0)$ والنقطة $A(7,-3,3)$ تقع عليه فإن طول نصف قطرها R حيث:

$\begin{array}{rl}& R=OA=\sqrt{(7-0{)}^2+(-3-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{49+9+}\\ & OB=\sqrt{(2-0{)}^2+(-8-0{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{4+64+1}\end{array}$

بما أن $OB>R$ فإن النقطة B تقع خارج الكرة، ويكون قول حنان هو الصواب.

(42) تبرير: إذا وقعت النقطة $J(-4,6,-1)$ والنقطة $K(-2,2,17)$ على طرفي أحد أقطار كرة، فأبين أن النقطة $L(2,10,3)$ والنقطة $J(4,-2,7)$ تقعان على سطح تلك الكرة، مبرراً إجابتي.

مركز الكرة هو النقطة C التي تنصف القطر المعطى طرفاه:

$C=(\frac{-4-2}{2},\frac{6+2}{2},\frac{-1+17}{2})=(-3,4,8)$

وطول نصف قطر الكرة هو R حيث:

$R=CK=\sqrt{(-3-(-2){)}^2+(4-2{)}^2+(8-17{)}^2}=\sqrt{1+4+81}=\sqrt{86}$

الآن نجد كلاً من $CJ,CL$ ونقارنه مع R لمعرفة موقع كل من J,L بالنسبة لهذه الكرة:

$CL=\sqrt{(2-(-3{)}^2+(10-4{)}^2+(3-8{)}^2}=\sqrt{25+36+25}=\sqrt{86}=R$

إذن، النقطة L أيضاً تقع على سطح هذه الكرة.

$CJ=\sqrt{(4-(-3){)}^2+(-2-4{)}^2+(7-8{)}^2}=\sqrt{49+36+1}=\sqrt{86}=R$

إذن، النقطة J أيضاً تقع على سطح هذه الكرة.

(43) تبرير: تمثل النقاط: $A(2,3,-1),B(2,3,5),C(8,-3,5)$ ثلاثة من رؤوس مكعب خشبي، كل وجهين من أوجهه يوازيان أحد المستويات: $xy,xz,yz$.

أكتب إحداثيات الرؤوس الخمسة الأخرى، مبرراً إجابتي.

تختلف النقطة B عن النقطة A فقط في الإحداثي z، والفرق بين قيمتي z يساوي 6

إذن، AB أحد أحرف المكعب، وطول ضلع المكعب 6 وحدات.

أما النقطة C فيزيد إحداثيها x بمقدار 6 وحدات عن الإحداثي x للنقطة B، كما يقل إحداثيها y بمقدار 6 عن الإحداثي y للنقطة B (مزاحة عنها 6 وحدات لليسار).

نجد باقي النقاط (الرؤوس) بإحداث إزاحات مقدارها 6 وحدات لإحداثيات الرؤوس الثلاثة المعطاة.

$D(8,3,-1)$ وذلك بإزاحة النقطة A بمقدار 6 وحدات باتجاه المحور x الموجب.

$E(8,3,5)$ وذلك بإزاحة النقطة B بمقدار 6 وحدات باتجاه المحور x الموجب.

$F(8,-3,-1)$ وذلك بإزاحة النقطة C بمقدار 6 وحدات باتجاه المحور z السالب.

$G(2,-3,5)$ وذلك بإزاحة النقطة B بمقدار 6 وحدات باتجاه المحور y السالب.

$H(2,-3,-1)$ وذلك بإزاحة النقطة A بمقدار 6 وحدات باتجاه المحور y السالب.

(44) تحد: في الشكل الآتي، إذا كان: $\overrightarrow{CB}=6\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{BY}=5\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{\mathrm{a}}$، وكانت X تقع على $\overline{AB}$، حيث $AX:XB=1:2$، فأثبت أن: $\overrightarrow{CX}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CY}$.

$\begin{array}{rl}& \frac{AX}{XB}=\frac{1}{2}\Rightarrow XB=2AX\Rightarrow AB=AX+XB=AX+2AX=3AX\\ & \Rightarrow AX=\frac{1}{3}AB\\ & \overrightarrow{AX}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{3}(-3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{\mathrm{b}})=-\overrightarrow{\mathrm{a}}+2\overrightarrow{\mathrm{b}}\\ & \overrightarrow{CY}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BY}=6\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}=5(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{CY}\\ & \overrightarrow{CX}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AX}=3\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}+2\overrightarrow{\mathrm{b}}=2(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})=\frac{2}{5}\overrightarrow{CY}\end{array}$

تحد: إذا كانت متجهات الموقع للنقاط: $\mathit{M}\mathbf{,}\mathit{L}\mathbf{,}\mathit{N}$ هي:

$\overrightarrow{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{6}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{l}}\mathbf{=}\mathbf{4}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{10}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{3}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{5}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{3}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{9}\hat{\mathbf{k}}$، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً: 

(45) أثبت أن المثلث LMN قائم الزاوية.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{LN}=⟨1,13,-12⟩\\ & LN=\left|\overrightarrow{LN}\right|=\sqrt{1+169+144}=\sqrt{314}\\ & \overrightarrow{ML}=⟨7,-4,2⟩\\ & ML=\left|\overrightarrow{ML}\right|=\sqrt{49+16+4}=\sqrt{69}\\ & \overrightarrow{NM}=⟨-8,-9,10⟩\\ & NM=\left|\overrightarrow{NM}\right|=\sqrt{64+81+100}=\sqrt{245}\end{array}$

بما أن: $(LN{)}^2=(ML{)}^2+(NM{)}^2$ إذن: $314=69+245$

فإن $\mathrm{△}LMN$ قائم الزاوية في M (بعكس نظرية فيثاغورس).

(46) أجد مساحة المثلث LMN.

مساحة المثلث في A حيث:

$A=\frac{1}{2}\left(ML\right)\left(NM\right)=\frac{1}{2}\sqrt{69}\sqrt{245}=\frac{7}{2}\sqrt{345}$