أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الضرب والقسمة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f\left(x\right)=x(1+3x{)}^5$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =x\times 5(1+3x{)}^4(3)+(1+3x{)}^5\left(1\right)\\ & =(1+3x{)}^4(18x+1)\end{array}$

(2) $f\left(x\right)=\frac{x+3}{x+1}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(x+1)\left(1\right)-(x+3)\left(1\right)}{(x+1{)}^2}\\ & =\frac{-2}{(x+1{)}^2}\end{array}$

(3) $f\left(x\right)=(2x+1{)}^5(3x+2{)}^4$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(2x+1{)}^5\times 4(3x+2{)}^3\left(3\right)+(3x+2{)}^4\times 5(2x+1{)}^4\times 2\\ & =2(2x+1{)}^4(3x+2{)}^3(27x+16)\end{array}$

(4) $f\left(x\right)=\frac{3x^2}{(2x-1{)}^2}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(2x-1{)}^2(6x)-\left(3x^2\right)\times 2(2x-1\left)\right(2)}{(2x-1{)}^4}\\ & =\frac{6(2x-1)(2x^2-x-2x^2)}{(2x-1{)}^4}\\ & =\frac{-6x}{(2x-1{)}^3}\end{array}$

(5) $f\left(x\right)=\frac{6x}{\sqrt{5x+3}}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\left(\sqrt{5x+3}\right)\left(6\right)-\left(6x\right)\left(\frac{5}{2\sqrt{5x+3}}\right)}{5x+3}& =\frac{30x+18-15x}{(5x+3)\sqrt{5x+3}}\\ & =\frac{15x+18}{(5x+3)\sqrt{5x+3}}\end{array}$

(6) $f\left(x\right)=(4x-1)(x^2-5)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(4x-1)\left(2x\right)+(x^2-5)\left(4\right)\\ & =8x^2-2x+4x^2-20\\ & =12x^2-2x-20\end{array}$

(7) $f\left(x\right)=\frac{x^2+6}{2x-7}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(2x-7)\left(2x\right)-(x^2+6)\left(2\right)}{(2x-7{)}^2}\\ & =\frac{4x^2-14x-2x^2-12}{(2x-7{)}^2}\\ & =\frac{2x^2-14x-12}{(2x-7{)}^2}\end{array}$

(8) $f\left(x\right)=\frac{x}{1+\sqrt{x}}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(1+\sqrt{x})\left(1\right)-\left(x\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(1+\sqrt{x}{)}^2}\\ & =\frac{1+\sqrt{x}-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x}{)}^2}\\ & =\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x}{)}^2}\end{array}$

(9) $f\left(x\right)=(x+1)\sqrt{x-1}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(x+1)\times \frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\left(\sqrt{x-1}\right)\left(1\right)\\ & =\frac{x+1}{2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-1}=\frac{x+1+2x-2}{2\sqrt{x-1}}=\frac{3x-1}{2\sqrt{x-1}}\end{array}$

(10) $f\left(x\right)=\frac{x}{5+2x}-2x^4$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{\left(1\right)(5+2x)-\left(x\right)\left(2\right)}{(5+2x{)}^2}-8x^3\\ & =\frac{5}{(5+2x{)}^2}-8x^3\end{array}$

(11) $f\left(x\right)=\frac{5}{(x+2{)}^2}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(-5)\left(2\right)(x+2)\left(1\right)}{(x+2{)}^4}\\ & =\frac{-10}{(x+2{)}^3}\end{array}$

(12) $f\left(x\right)=(x+\frac{2}{x})(x^2-3)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(x+\frac{2}{x})\left(2x\right)+(x^2-3)(1-\frac{2}{x^2})\\ & =2x^2+4+x^2-3-2+\frac{6}{x^2}\\ & =3x^2-1+\frac{6}{x^2}\end{array}$

(13) $f\left(x\right)=(8x+\sqrt{x})(5x^2+3)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(8x+\sqrt{x})\left(10x\right)+(5x^2+3)(8+\frac{1}{2\sqrt{x}})\\ & =80x^2+10x^{\frac{3}{2}}+40x^2+\frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+24+\frac{3}{2\sqrt{x}}\\ & =120x^2+\frac{25}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+24+\frac{3}{2\sqrt{x}}\end{array}$

(14) $f\left(x\right)=5x^{-3}(x^4-5x^3+10x-2)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=5x-25+50x^{-2}-10x^{-3}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=5-100x^{-3}+30x^{-4}\end{array}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(15) $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3, x=1$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(x^2\right)\times 3(3x-1{)}^2\times 3+(3x-1{)}^3\left(2x\right)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\left(1\right)3(3-1{)}^2\times 3+(3\left(1\right)-1{)}^3\left(2\right(1\left)\right)=36+16=52\end{array}$

(16) $f\left(x\right)=3x\sqrt{5-x}, x=4$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(3x\right)\left(\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}\right)+\left(\sqrt{5-x}\right)\left(3\right)\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(4\right)& =\frac{(3\times 4)(-1)}{2\sqrt{5-4}}+\left(\sqrt{5-4}\right)\left(3\right)\\ & =\frac{-12}{2\times 1}+1\times 3=-6+3=-3\end{array}$

(17) $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2x+1}, x=2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(2x+1)\left(1\right)-(x-1)\left(2\right)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=\frac{3}{(4+1{)}^2}=\frac{3}{25}\end{array}$

(18) $f\left(x\right)=(2x+3)(x-2{)}^2, x=0$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(2x+3)\times 2(x-2)\left(1\right)+(x-2{)}^2(2)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=3\times 2(-2)+2(-2^2)=-12+8=-4\end{array}$

أعمال: يُمثل الاقتران: $\mathit{S}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2000}\mathbf{t}}{\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{.3}\mathbf{t}}$ إجمالي المبيعات (بلآلاف الدنانير) لشركة جواهر وحُليّ، حيث t عدد السنوات بعد عام 2020م:

(19) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة إلى الزمن t .

$\begin{array}{rl}{S}^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)& =\frac{(4+0.3t)\left(2000\right)-2000t(0.3)}{(4+0.3t{)}^2}\\ & =\frac{8000}{(4+0.3t{)}^2}\end{array}$

(20) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة عام 2020م، مفسراً معنى الناتج.

$\begin{array}{rl}& t=2030-2020=10\\ & S^{\mathrm{\prime }}\left(10\right)=\frac{8000}{(4+3{)}^2}=\frac{8000}{49}\approx 163\end{array}$

يتزايد إجمالي المبيعات بمقدار 163 ألف دينار لكل سنة في عام 2030م.

سكان: يُمثل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: P(t) = 12(2t² + 100) (t + 20) ، حيث t الزمن بالسنوات منذ الآن و P عدد السكان بوحدة الفرد (شخص أو نسمة):

(21) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .

$P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=12(2t^2+100)\left(1\right)+(t+20)\times 12\left(4t\right)=12(6t^2+80t+100)$

(22) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما t = 6 ، مفسراً معنى الناتج.

$P^{\mathrm{\prime }}\left(6\right)=12(216+480+100)=12\left(796\right)=9552$

يتزايد عدد السكان بمعدل 9552 نسمة كل سنة بعد 6 سنوات من الآن.

(23) تفاعلات: يمكن نمذجة كتلة مركب في أثناء تفاعل كيميائي باستعمال الاقتران: $M\left(t\right)=\frac{5.8t}{t+1.9}$ ، حيث t الزمن بالثواني بعد بدء التفاعل، و M الكتلة بالغرام. أجد معدل تغير كتلة المركب بعد 5 ثوان من بدء التفاعل.

$\begin{array}{rl}{M}^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)& =\frac{(t+1.9)(5.8)-(5.8t)\left(1\right)}{(t+1.9{)}^2}\\ & =\frac{11.02}{(t+1.9{)}^2}\\ M^{\mathrm{\prime }}\left(5\right)& =\frac{11.02}{(5+1.9{)}^2}\approx 0.23\end{array}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}$ لكلّ ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(24) $y=u{(u^2+3)}^3 , u=(x+3{)}^2 , x=-2$

$\frac{du}{dx}=2(x+3)\left(1\right)=2x+6$

عندما: x = -2 ، فإن: $u=(-2+3{)}^2=1$

f$\begin{array}{rl}& {\frac{dy}{dx}|}_{x=-2}={\frac{dy}{du}|}_{u=1}\times {\frac{du}{dx}|}_{x=-2}\\ & {\frac{du}{du}|}_{u=1}={(1^2+3)}^2(7\left(1^2\right)+3)=16\left(10\right)=160\\ & {\frac{du}{dx}|}_{x=-2}=2(-2)+6=2\\ & {\frac{dy}{dx}|}_{x=-2}=160\times 2=320\end{array}$

(25) $y=\frac{u^3}{u+1} , u={(x^2+1)}^3 , x=1$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{du}=\frac{(u+1)\times 3u^2-u^3\left(1\right)}{(u+1{)}^2}=\frac{2u^3+3u^2}{(u+1{)}^2}\\ & \frac{du}{dx}=3{(x^2+1)}^2\left(2x\right)=6x{(x^2+1)}^2\end{array}$

عندما: x = 1 ، فإن: $u=(1^2+1{)}^3=8$

$\begin{array}{rl}& {\frac{dy}{dx}|}_{x=1}={\frac{dy}{du}|}_{u=8}\times {\frac{du}{dx}|}_{x=1}\\ & {\frac{dy}{du}|}_{u=8}=\frac{2\left(8^3\right)+3\left(8^2\right)}{(8+1{)}^2}=\frac{1216}{81}\\ & {\frac{du}{dx}|}_{x=1}=6\left(1\right){(1^2+1)}^2=24\\ & {\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=\frac{1216}{81}\times 24=\frac{9728}{27}\end{array}$

إذا كان: $f\left(2\right)=4 , f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=-1 , g\left(2\right)=3 , g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=2$ ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(26) $\left(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\right(2)$

$\begin{array}{rl}\left(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\right(x)& =(f\times g{)}^{\mathrm{\prime }}(x)\\ & =f\left(x\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)+g\left(x\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\\ \left(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\right(2)& =f\left(2\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)+g\left(2\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\\ & =4\times 2+3\times -1=5\end{array}$

(27) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}$

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)-f\left(x\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)}{\left(g\right(x){)}^2}\\ & {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=\frac{g\left(2\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)-f\left(2\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)}{\left(g\right(2){)}^2}=\frac{3\times -1-4\times 2}{(3{)}^2}=-\frac{11}{9}\end{array}$

(28) $(3f+fg{)}^{\mathrm{\prime }}(2)$

$\begin{array}{rl}(3f+fg{)}^{\mathrm{\prime }}(x)& =3f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)+f\left(x\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)+g\left(x\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\\ (3f+fg{)}^{\mathrm{\prime }}(2)& =3f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)+f\left(2\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)+g\left(2\right)\times f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\\ & =3\times -1+4\times 2+3\times -1=2\end{array}$