مسألة اليوم

تكامل اقترانات خاصة

يتغير عدد الطلبة الذين يلتحقون بإحدى الجامعات الجديدة سنوياً بمعدل: $P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{5000}{\sqrt{(t+1{)}^3}}$، حيـث $P\left(t\right)$ عدد الطلبة الملتحقين بالجامعة، و$t$ الزمن بالسنوات منذ تأسيس الجامعة. أجد عدد الطلبة الذين درسوا في الجامعة بعد 3 سنوات من تأسيسها، علماً بأن عددهم عند تأسيس الجامعة بلغ 2000 طالب.

أولاً نجد تكامل الاقتران $P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)$

$\begin{array}{rl}P\left(t\right)=\int \frac{5000}{\sqrt{(t+1{)}^3}}dt& =\int \frac{5000}{(t+1{)}^{\frac{3}{2}}}dt\\ & =\int 5000(t+1{)}^{-\frac{3}{2}}dt\\ & =-10000(t+1{)}^{-\frac{1}{2}}+C\end{array}$

ثانياً، نجد ثابت التكامل C: 

بما أن عدد طلاب الجامعة عند التأسيس إذن $P\left(0\right)=2000$

$\begin{array}{rl}& P\left(t\right)=-10000(t+1{)}^{-\frac{1}{2}}+C\\ & P\left(0\right)=-10000(0+1{)}^{-\frac{1}{2}}+C\\ & 2000=-10000+C\\ & C=12000\\ & P\left(t\right)=-10000(t+1{)}^{-\frac{1}{2}}+12000\end{array}$

ثالثاً، نجد عدد الطلبة بعد 3 سنوات من التأسيس: 

$\begin{array}{rl}P\left(3\right)& =-10000(3+1{)}^{-\frac{1}{2}}+12000\\ & \approx 7000\end{array}$

إذن، عدد الطلبة بعد 3 سنوات من التأسيس هو 7000 طالب.