مهارات التفكير العليا

تكامل اقترانات خاصة

(34) أكتشف الخطأ: أوجد أحمد ناتج التكامل: $\int \frac{1}{2x}dx$، وكان خله على النحو المجاور.

أكتشف الخطأ في حل أحمد، ثم أصححه.

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{2x}dx& =\int \frac{\frac{1}{2}\left(2\right)}{2x}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{2}{2x}dx\\ & =\frac{1}{2}\ln \left|2x\right|+C\end{array}$

تحد: أجد كل تكامل مما يأتي:

 $\int \sqrt{e^x}dx$ (35)

$\begin{array}{rl}\int \sqrt{e^x}dx& =\int {\left(e^x\right)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & =\int e^{\frac{1}{2}x}dx\\ & =2e^{\frac{1}{2}x}+C\end{array}$

$\int \frac{\cos x}{3+2\sin x}dx$ (36)

$\begin{array}{rl}\int \frac{\cos x}{3+2\sin x}dx& =\int \frac{-\frac{1}{2}(-2\cos x)}{3+2\sin x}dx\\ & =-\frac{1}{2}\int \frac{-2\cos x}{3+2\sin x}dx\\ & =-\frac{1}{2}\ln |3+2\sin x|+C\end{array}$

$\int {(x^2+2x+1)}^{5}dx$ (37)

$\begin{array}{rl}\int {(x^2+2x+1)}^{5}dx& =\int {\left(\right(x+1{)}^2)}^{5}dx\\ & =\int (x+1{)}^{10}dx\\ & =\frac{1}{11}(x+1{)}^{11}+C\end{array}$

(38) أكتشف المختلف: أي التكاملات الآتية مختلف، مبرراً إجابتي؟ 

 $\int \frac{1}{x+1}dx$

هذا التكامل هو المختلف $\int \frac{1}{x+1}dx$ كونه الوحيد الذي يُحل باللوغاريتم الطبيعي.