أتحقق من فهمي

تكامل اقترانات خاصة

تكامل الاقتران الأسي الطبيعي، واقتران الجيب، واقتران جيب التمام

أتحقق من فهمي صفحة (43): 

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (5x^2+7e^x)dx$ (a)

$\int (5x^2+7e^x)dx=\frac{5}{3}{x}^3+7e^x+C$

$\int (9\cos x+\frac{4}{x^3})dx$ (b)

$\begin{array}{rl}\int (9\cos x+\frac{4}{x^3})dx& =\int (9\cos x+4x^{-3})dt\\ & =9\sin x-2x^{-2}+C\\ & =9\sin x-\frac{2}{x^2}+C\end{array}$

$\int (\sqrt[3]{x}-\sin x)dx$ (c)

$\begin{array}{rl}\int (\sqrt[3]{x}-\sin x)dx& =\int (x^{\frac{1}{3}}-\sin x)dx\\ & =\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+\cos x+C\end{array}$

تكامل الاقتران اللوغريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة (45):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (\frac{1}{x}+8e^x)dx$ (a)

$\int (\frac{1}{x}+8e^x)dx=\ln \left|x\right|+8e^x+C$

$\int (\sin x-\frac{5}{x})dx$ (b)

$\int (\sin x-\frac{5}{x})dx=-\cos x-5\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{x^2-7x+2}{x^2}dx$ (c)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2-7x+2}{x^2}dx& =\int (\frac{x^2}{x^2}-\frac{7x}{x^2}+\frac{2}{x^2})dx\\ & =\int (1-\frac{7}{x}+2x^{-2})dx\\ & =x-7\ln \left|x\right|-x^{-1}+C\\ & =x-7\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}+C\end{array}$

تكامل اقترانات أساسية في صورة f(ax+b)

أتحقق من فهمي صفحة (47):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (7x-5{)}^{6}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}\int (7x-5{)}^{6}dx& =\frac{1}{7}\times \frac{1}{7}(7x-5{)}^7+C\\ & =\frac{1}{49}(7x-5{)}^7+C\end{array}$

$\int \sqrt{2x+1}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}\int \sqrt{2x+1}dx& =\int (2x+1{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{1}{3}(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$

$\int 4\cos (3x-7)dx$ (c)

$\begin{array}{rl}\int 4\cos (3x-7)dx& =\frac{1}{3}\times 4\sin (3x-7)+C\\ & =\frac{4}{3}\sin (3x-7)+C\end{array}$

$\int (\sin 5x+e^{2x})dx$ (d)

$\begin{array}{rl}\int (\sin 5x+e^{2x})dx& =\frac{1}{5}x-\cos 5x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\\ & =-\frac{1}{5}\cos 5x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\end{array}$

$\int (6x^2-3e^{7x+1})dx$ (e)

$\int (6x^2-3e^{7x+1})dx=2x^3-\frac{3}{7}{e}^{7x+1}+C$

$\int \frac{5}{3x+2}dx$ (f)

$\int \frac{5}{3x+2}dx=\frac{5}{3}\ln |3x+2|+C$

أتحقق من فهمي صفحة (49):

سكان: أشارت دراسة إلى أن عدد السكان في إحدى القرى يتغير سنوياً بمعدل يمكن نمذجته $P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=105e^{0.03t}$، حيث $t$ عدد السنوات منذ عام 2010 م، و $P\left(t\right)$ عدد السكان. أجد عدد سكان القرية عام 2020 م، علماً بأن عدد سكانها عام 2010 م هو 3500 شخص.

أولاً نجد تكامل الاقتران $P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)$

$\begin{array}{rl}P\left(t\right)=\int 105e^{0.03t}dt& =\frac{105}{0.03}{e}^{0.03t}+C\\ & =3500e^{0.03t}+C\end{array}$

ثانياً، نجد ثابت التكامل C: 

بما أن عدد سكان المدينة عام 2010 هو 3500 شخص إذن $P\left(0\right)=3500$

$\begin{array}{rl}& P\left(t\right)=3500e^{0.03t}+C\\ & P\left(0\right)=3500e^0+C\\ & 3500=3500+C\\ & C=0\\ & P\left(t\right)=3500e^{0.03t}\end{array}$

ثالثاً، نجد سكان المدينة عام 2020 (أي بعد 10 سنوات): 

$\begin{array}{rl}P\left(10\right)& =3500e^{0.03\left(10\right)}\\ & \approx 4725\end{array}$

إذن، عدد سكان المدينة عام 2020 هو 4725 ساكناً.

تكامل اقترانات في صورة $\frac{f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

أتحقق من فهمي صفحة (50): 

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{2x+3}{x^2+3x}dx$ (a)

$\int \frac{2x+3}{x^2+3x}dx=\ln |x^2+3x|+C$

$\int \frac{9x^2}{x^3+8}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}\int \frac{9x^2}{x^3+8}dx& =\int \frac{3\left(3x^2\right)}{x^3+8}dx\\ & =3\int \frac{3x^2}{x^3+8}dx\\ & =3\ln |x^3+8|+C\end{array}$

$\int \frac{x+1}{4x^2+8x}dx$ (c)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x+1}{4x^2+8x}dx& =\int \frac{\frac{1}{8}(8x+8)}{4x^2+8x}dx\\ & =\frac{1}{8}\int \frac{8x+8}{4x^2+8x}dx\\ & =\frac{1}{8}\ln |4x^2+8x|+C\end{array}$

$\int \frac{e^{3x}}{e^{3x}+5}dx$ (d)

$\int \frac{e^{3x}}{e^{3x}+5}dx=\int \frac{\frac{1}{3}\left(3e^{3x}\right)}{e^{3x}+5}dx=\frac{1}{3}\ln |e^{3x}+5|+C$

التكاملات المحدودة للاقترانات الخاصة

أتحقق من فهمي صفحة (51): 

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

${\int }_0^2(4e^{2x}+7)dx$ (a)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^2(4e^{2x}+7)dx& ={(2e^{2x}+7x)|}_0^2\\ & =(2e^{2\left(2\right)}+7(2\left)\right)-(2e^{2\left(0\right)}+7(0\left)\right)\\ & =2e^4+12\end{array}$

${\int }_0^4\frac{1}{\sqrt{6x+1}}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^4\frac{1}{\sqrt{6x+1}}dx& ={\int }_0^4(6x+1{)}^{-\frac{1}{2}}dx\\ & =\frac{1}{6}\times {2(6x+1{)}^{\frac{1}{2}}|}_0^4\\ & ={\frac{1}{3}\sqrt{6x+1}|}_0^4\\ & =\left(\frac{1}{3}\sqrt{6\left(4\right)+1}\right)-\left(\frac{1}{3}\sqrt{6\left(0\right)+1}\right)\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

${\int }_0^4\frac{8x}{x^2+1}dx$ (c)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^4\frac{8x}{x^2+1}dx& ={\int }_0^4\frac{4\left(2x\right)}{x^2+1}dx\\ & =4{\int }_0^4\frac{\left(2x\right)}{x^2+1}dx\\ & ={4\ln |x^2+1||}_0^4\\ & =(4\ln \left|\right(4{)}^2+1|)-(4\ln \left|\right(0{)}^2+1|)\\ & =4\ln 17\end{array}$