مسألة اليوم

الاشتقاق الضمني

يقود سائق سيّارته في اتجاه لافتة على طريق سريع كما في الشكل المجاور. إذا كانت $\theta$ زاوية رؤية السائق للافتة، و x المسافة بينه وبين اللافتة بالأمتار، وكانت العلاقة التي تربط $\theta$ بـ x هي: tan $\theta$ = $\frac{4x}{x^2 + 252}$ ، فما معدل تغير $\theta$ بالنسبة إلى x ؟

tan $\theta$ = $\frac{4x}{x^2 + 252}$

باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أنّ:

sec²$\theta$ x $\frac{d\theta }{dx}$ = $\frac{(x^2 + 252)\left(4\right) - \left(4x\right)\left(2x\right)}{{(x^2 - 252)}^2}$

$\frac{d\theta }{dx}$ = $\frac{1008 - 4x^2}{{\sec }^2 \theta {(x^2 + 252)}^2}$

$\frac{d\theta }{dx}$ = $\frac{1008 - 4x^2}{(1 + {\tan }^2 \theta ) {(x^2 + 252)}^2}$

$\frac{d\theta }{dx}$ = $\frac{1008 - 4x}{(1 + {\displaystyle \frac{16x^2}{{(x^2 + 252)}^2})} {(x^2 + 252)}^2}$

$\frac{d\theta }{dx}$ = $\frac{1008 - 4x^2}{{(x^2 + 252)}^2 + 16x^2}$