أتحقق من فهمي

الاشتقاق الضمني

العلاقة الضمنية ومشتقتها

أتحقق من فهمي صفحة 60

أجد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي:

(a) x² + y² = 13

x² + y² = 13

2x + 2y $\frac{dy}{dx}$ = 0

$\frac{dy}{dx}$ = -$\frac{2x}{2y}$ = -$\frac{x}{y}$

(b) 2x + 5y² = sin y

2x + 5y² = sin y

2 + 10y $\frac{dy}{dx}$ = cos y $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$(10y – cos y) = -2

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{-2}{10y - \cos y}$ 

أتحقق من فهمي صفحة 62

أجد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي:

(a) 3xy² + y³ = 8

3xy² + y³ = 8

6xy $\frac{dy}{dx}$+ 3y² + 3y² $\frac{dy}{dx}$ = 0

$\frac{dy}{dx}$ = - $\frac{3y^2}{6xy + 3y^2}$

(b) tan (x – y) = 2xy³ + 1

tan (x – y) = 2xy³ + 1

(1 - $\frac{dy}{dx}$) sec² (x – y) = 6xy² $\frac{dy}{dx}$ + 2y³

sec² (x – y) – sec² (x – y) $\frac{dy}{dx}$ = 6xy² $\frac{dy}{dx}$ + 2y³

$\frac{dy}{dx}$(6xy² + sec² (x – y)) = sec² (x – y) – 2y³

 $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{{\sec }^2 (x - y) - 2y^3}{6x{y}^2 + {\sec }^2 (x - y)}$ 

(c) x² = $\frac{x - y}{x + y}$ 

x² = $\frac{x - y}{x + y}$

2x = $\frac{(x + y) (1 - {\displaystyle \frac{dy}{dx}}) - (x - y) (1 + \frac{dy}{dx})}{{(x + y)}^2}$

2x (x + y)² = x – x $\frac{dy}{dx}$ + y – y $\frac{dy}{dx}$ - x – x $\frac{dy}{dx}$ + y + y $\frac{dy}{dx}$

2x $\frac{dy}{dx}$ = 2y – 2x (x + y)²

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2y - 2x {(x + y)}^2}{2x}$ = $\frac{y - x {(x + y)}^2}{x}$

أو يمكن تبسيط العلاقة قبل الاشتقاق كالآتي:

x² = $\frac{x - y}{x + y}$   →    x³ + x²y = x – y

→  3x² + x² $\frac{dy}{dx}$ + 2xy = 1 - $\frac{dy}{dx}$

→   $\frac{dy}{dx}$ + x² $\frac{dy}{dx}$ = 1 – 3x² – 2xy

→   $\frac{dy}{dx}$ (1 + x²) = 1 – 3x² – 2xy

→  $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1 - 3x^2 - 2xy}{1 + x^2}$

ميل المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 63

(a) أجد ميل مماس منحنى العلاقة: y² = ln x عند النقطة (e, 1).

y² = ln x  →  2y $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1}{x}$

→ $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1}{2xy}$

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (e, 1)}$ = $\frac{1}{2e}$

(b) أجد ميل العلاقة:(y – 3)² = 4(x – 5)  عندما x = 6 .

نجد قيمة y عندما x = 6 .

(y – 3)² = 4(6 – 5) →  (y – 3)² = 4

→   y – 3 = $\pm$2

→   y = 5 or y = 1

باشتقاق طرفي العلاقة (y – 3)² = 4(x – 5) بالنسبة إلى x ينتج أنّ:

2 (y – 3) $\frac{dy}{dx}$= 4

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2}{y -3}$

ميل المماس عند النقطة الأولى هو:

  ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (6, 1)}$ = $\frac{2}{1 -3}$ = -1

ميل المماس عند النقطة الثانية هو:

 ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (6, 5)}$ = $\frac{2}{5 -3}$ = 1

معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 65

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x² + y³ – 3xy = 17 عند النقطة (2, 3).

x³ + y³ – 3xy = 17  →  3x² + 3y²$\frac{dy}{dx}$ - 3x$\frac{dy}{dx}$ - 3y = 0

بتعويض x = 2 ، و y = 3 ينتج أّن:

3(2)² + 3(3)²$\frac{dy}{dx}$ - 3(2)$\frac{dy}{dx}$ - 3(3) = 0

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (2, 3)}$ = - $\frac{1}{7}$

ميل المماس هو: $\frac{1}{7}$ -

إذن معادلة المماس هي:

y – 3 = - $\frac{1}{7}$(x – 2)

y = - $\frac{1}{7}$ x + $\frac{23}{7}$

المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 66

إذا كان: xy + y² = 2x ، فأجد $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ .

xy + y² = 2x  →  x$\frac{dy}{dx}$ + y + 2y$\frac{dy}{dx}$ = 2

→ $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2 - y}{x + 2y}$

→ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ = $\frac{(x + 2y) (-{\displaystyle \frac{dy }{dx}}) - (2 - y) (1 + 2{\displaystyle \frac{dy }{dx}})}{{(x + 2y)}^2}$

              = $\frac{(x + 2y) \left({\displaystyle \frac{y - 2 }{x + 2y}}\right) - (2 - y) (1 + 2{\displaystyle \frac{2 - y }{x + 2y}})}{{(x + 2y)}^2}$

              = $\frac{(x + 2y) \left({\displaystyle y - 2}\right) - (2 - y) (x + 4)}{{(x + 2y)}^3}$

              = $\frac{2xy - 4x + 2y^2 - 8}{{(x + 2y)}^3}$

المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية

أتحقق من فهمي صفحة 67

أجد $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما t = 2 :

x = 3t² + 1 , y = t³ – 2t²

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}$ = $\frac{3t^2 - 4t}{6t}$ = $\frac{1}{2}$ t - $\frac{2}{3}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{6t}$ = $\frac{1}{12t}$ 

${\overline{)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}_{ t=2}$ = $\frac{1}{24}$

الاشتقاق اللوغارتيمي

أتحقق من فهمي صفحة 69

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي باستعمال الاشتقاق اللوغاريتمي:

(a) y = $x^{\sqrt{x}}$ , x > 0

y = $x^{\sqrt{x}}$ →  ln y = ln $x^{\sqrt{x}}$

→  ln y = $\sqrt{x}$ ln x

→ $\frac{1}{y}$ ($\frac{dy}{dx}$)  = $\sqrt{x}$ ($\frac{1}{x}$) + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ln x

→  $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{y}{\sqrt{x}}$ + $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ ln x  →  $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{x^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ +  $\frac{x^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$ ln x

(b) y = $\sqrt{\frac{x - 1}{x^4 + 1}}$

y = $\sqrt{\frac{x - 1}{x^4 + 1}}$  →  ln y  = ln $\sqrt{\frac{x - 1}{x^4 + 1}}$

→  ln y = $\frac{1}{2}$ ln $\frac{x - 1}{x^4 + 1}$

→  ln y = $\frac{1}{2}$ (ln (x – 1) – ln (x⁴ + 1))

→  $\frac{1}{y}$ ($\frac{dy}{dx}$) = $\frac{1}{2 (x - 1)}$ + $\frac{2x^3}{x^4 + 1}$

→  $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{1}{2 (x - 1)}$ + $\frac{2x^3}{x^4 + 1}$) $\sqrt{\frac{x - 1}{x^4 + 1}}$