مهارات التفكير العليا

الاشتقاق الضمني

تبرير: إذا كان: x² – y² = 1 ، فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعاً:

(43) أجد $\frac{dy}{dx}$ .

$\begin{array}{rl}{x}^2-y^2=1& \to 2x-2y\frac{dy}{dx}=0\\ & \to \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\end{array}$

(44) يمكن التعبير عن منحنى العلاقة: x² – y² = 1 بالمعادلة الوسيطية: x = sec t , y = tan t ، حيث: $-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$

أستعمل هذه الحقيقة لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ بدلالة t .

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{se{c}^2 t}{sect tan t}=\frac{sec t}{tan t}$

(45) أثبت أن المقدارين الجبريين اللذين يمثلان $\frac{dy}{dx}$ الناتجين في الفرعين السابقين متكافئان، مبرراً إجابتي.

$\frac{dy}{dx}=\frac{sec t}{tan t}=\frac{x}{y}$

المقداران الجبريان اللذان يمثلان  متكافئان، لأنه من نص السؤال:

x = sec t  و y = tan t ومنه فإن $\frac{sec t}{tan t}=\frac{x}{y}$

(46) أجد إحداثيات النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 .

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}=2\to \frac{x}{y}& =2\to x=2y\\ x^2-y^2=1& \to (2y{)}^2-y^2=1\\ & \to y^2=\frac{1}{3}\\ & \to y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ & \to y=\frac{1}{\sqrt{3}}\to x=\frac{2}{\sqrt{3}},y=-\frac{1}{\sqrt{3}}\to x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 هي: $(-\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}) , (\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

(47) تبرير: إذا مثل l أيّ مماس لمنحنى المعادلة: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{k}$ ، حيث k عدد حقيقي موجب، فأثبت أنّ مجموع المقطع x والمقطع y للمستقيم l يساوي k ، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{k}\\ & \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{\frac{dy}{dx}}{2\sqrt{y}}=0 \to \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\end{array}$

نفرض نقطة التماس هي: (x₁ , y₁) فيكون ميل المماس:

${\frac{dy}{dx}|}_{(x_1,y_1)}=-\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$

معادلة المماس:

$y-y_1=-\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x-x_1)$

المقطع x والمقطع y للمماس:

$\begin{array}{rl}& x=0\to y-y_1=-\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(-x_1)\to y=y_1+\sqrt{y_1}\sqrt{x_1}\\ & y=0\to y_1=\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x-x_1)\to x=x_1+\sqrt{y_1}\sqrt{x_1}\end{array}$

مجموع المقطعين:

$\begin{array}{rl}{y}_1+\sqrt{y_1}\sqrt{x_1}+x_1+\sqrt{y_1}\sqrt{x_1}& =y_1+2\sqrt{y_1}\sqrt{x_1}+x_1\\ & ={(\sqrt{y_1}+\sqrt{x_1})}^2\\ & =(\sqrt{k}{)}^2=k\end{array}$

(48) تحدّ: إذا كان مماس منحنى الاقتران: $y=x^{\sqrt{x}}$ عند النقطة (4, 16) يقطع المحور x في النقطة B ، والمحور y في النقطة C ، فأجد مساحة $\mathrm{△}OBC$ ، حيث O نقطة الأصل.

$\begin{array}{rl}& y=x^{\sqrt{x}}\\ & lny=ln{x}^{\sqrt{x}}\\ & lny=\sqrt{x}lnx\\ & \frac{\frac{dy}{dx}}{y}=\left(\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(lnx)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\to \frac{dy}{dx}=y(\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{lnx}{2\sqrt{x}})\\ & \to \frac{dy}{dx}=x^{\sqrt{x}}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{lnx}{2\sqrt{x}})\\ & =\frac{2+lnx}{2\sqrt{x}}\left(x^{\sqrt{x}}\right)\end{array}$

ميل المماس:

${\frac{dy}{dx}|}_{(4,16)}=\frac{2+ln 4}{2\sqrt{4}}\left(16\right)=8+4ln 4$

معادلة المماس:

$y-16=(8+4ln4)(x-4)$

المقطع x والمقطع y للمماس:

$\begin{array}{rl}& x=0\to y-16=(8+4ln 4)(-4)\to y=-16-16ln 4\\ & y=0\to -16=(8+4ln 4)(x-4)\to x=\frac{4+4ln 4}{2+ln 4}\end{array}$

مساحة المثلث OBC بوحدة المساحة هي:

$A=\frac{1}{2}\times \frac{4+4ln 4}{2+ln 4}\times |-16-16ln 4|=\frac{32(1+ln 4{)}^2}{2+ln 4}$