أتدرب وأحل المسائل

الاشتقاق الضمني

أجد $\frac{\mathit{d}\mathit{y}}{\mathit{d}\mathit{x}}$ لكل ممّا يأتي:

(1) x² – 2y² = 4

2x – 4y $\frac{dy}{dx}$ = 0

 $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{x}{2y}$

(2) $\frac{1}{x^2}$ + $\frac{1}{y^2}$ = $\frac{1}{10}$

$\frac{1}{x^2}$ + $\frac{1}{y^2}$ = $\frac{1}{10}$

$\frac{-2x}{x^4}$ + $\frac{-2y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}}{y^4}$ = 0

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2x}{x^4}$ x $\frac{y^4}{-2y}$ = - $\frac{y^3}{x^3}$

(3) (x² + y²)² = 50(x² – y²)

2(x² + y²) (2x + 2y$\frac{dy}{dx}$) = 50(2x – 2y$\frac{dy}{dx}$)

 $\frac{dy}{dx}$ (yx² + y³ + 25 y) = 25x – x³ – xy²

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{25x - x^3 - x{y}^2}{y{x}^2 +y^3 + 25y }$

(4) e^x y = xe^y

(e^x) ($\frac{dy}{dx}$) + (y) (e^x) = (x) (e^y$\frac{dy}{dx}$) + (e^y) (1)

$\frac{dy}{dx}$ (e^x – xe^y) = e^y – ye^x

 $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{e^y - y{e}^x}{e^x - x{e}^y}$

(5) 3^x = y – 2xy

3^x ln 3 = $\frac{dy}{dx}$ - 2x $\frac{dy}{dx}$ - 2y

$\frac{dy}{dx}$ (1 – 2x) = 2y + 3^x ln 3

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2y + 3^x \ln 3}{1 - 2x}$

(6) $\sqrt{x}$ + $\sqrt{y}$ = 5

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ + $\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dx}}}{2 \sqrt{y}}$  = 0

 $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{-2 \sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}$ = $\frac{-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

(7) x = sec $\frac{1}{y}$

1 = - $\frac{1}{y^2}$$\frac{dy}{dx}$ sec $\frac{1}{y}$ tan $\frac{1}{y}$

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{-y^2}{\sec {\displaystyle \frac{1}{y}} \tan \frac{1}{y}}$ = -y² cos $\frac{1}{y}$ cot $\frac{1}{y}$

(8) (sin πx + cos πy)² = 2

 2(sin πx + cos πy)¹ (π cos πx -  π sin πy$\frac{dy}{dx}$) = 0

$\frac{dy}{dx}$(π sin πy) (sin πx + cos πy) = (π cos πx) (sin πx + cos πy)

$\frac{dy}{dx}$= $\frac{(\mathrm{\pi } \cos \mathrm{\pi }x) (\sin \mathrm{\pi }x + \cos \mathrm{\pi }y)}{(\mathrm{\pi } \sin \mathrm{\pi }y) (\sin \mathrm{\pi }x + \cos \mathrm{\pi }y)}$ = $\frac{\cos \mathrm{\pi }x}{\sin \mathrm{\pi }y}$

(9) $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y^2}{x}$ = 5

$\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y^2}{x}$ = 5  →  x² + y⁴ = 5xy²

→  2x + 4y³ $\frac{dy}{dx}$ = 10xy $\frac{dy}{dx}$ + 5y²

→  $\frac{dy}{dx}$ (4y³ – 10xy) = 5y² – 2x

→  $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{5y^2 - 2x}{4y^3 -10xy }$ =

(10)  x + y = cos (xy)

1 + $\frac{dy}{dx}$ = - (x $\frac{dy}{dx}$ + y) sin xy

$\frac{dy}{dx}$(-x sin xy – 1) = 1 + y sin xy

$\frac{dy}{dx}$ = -$\frac{1 + y \sin xy}{x \sin xy + 1}$

(11)  x² + y² = ln (x + y)²

2x + 2y $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2(x + y) (1 + {\displaystyle \frac{dy}{dx}})}{{(x + y)}^2}$

x + y $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1 + {\displaystyle \frac{dy}{dx}}}{x + y}$

$\frac{dy}{dx}$ (xy + y² – 1) = 1 – x² – xy

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1 - x^2 - xy}{xy + y^2 - 1}$

(12)  sin x cos y = x² – 5y

(sin x) (-sin y $\frac{dy}{dx}$) + (cos y) (cos x) = 2x – 5 $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ (sin x sin y – 5) = cos x cos y – 2x

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{\cos x \cos y - 2x}{\sin x \sin y - 5}$

أجد$\frac{\mathit{d}\mathit{y}}{\mathit{d}\mathit{x}}$ لكل ممّا يأتي عند القيمة المعطاة:

(13) 2y² + 2xy – 1 = 0 , x = $\frac{1}{2}$

أجد قيمة y عندما x = $\frac{1}{2}$ :

2y² + 2($\frac{1}{2}$) y – 1 = 0   →  2y² + y – 1 = 0

→  (2y – 1) (y + 1) = 0  →  y = $\frac{1}{2}$ , y = -1

باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:

4y $\frac{dy}{dx}$ + 2x $\frac{dy}{dx}$ + 2y = 0

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{-y}{2y + x}$

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}$  = $\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2 \mathrm{x} {\displaystyle \frac{1}{2}} + {\displaystyle \frac{1}{2}}}$ = - $\frac{1}{3}$

 ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (\frac{1}{2}, -1)}$ = $\frac{1}{-2 + {\displaystyle \frac{1}{2}}}$ = - $\frac{2}{3}$

(14) y³ + 2x² = 11y , y = 1

أجد قيمة x عندما 1y =  :

1 + 2x² = 11 →  x² = 5  →  x = $\pm \sqrt{5}$

باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:

3y² $\frac{dy}{dx}$ + 4x = 11$\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{4x}{11 - 3y^2}$

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (-\sqrt{5}, 1)}$ = $\frac{-\sqrt{5}}{2}$

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (\sqrt{5}, 1)}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

أجد ميل المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(15) x² + y² = 25 , (3, -4)

2x + 2y $\frac{dy}{dx}$ = 0

2(3) + 2(-4) $\frac{dy}{dx}$ = 0  →  ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (3, -4)}$= $\frac{3}{4}$

(16) x² y = 4(2 – y), (2, 1)

x² $\frac{dy}{dx}$ + 2xy = -4 $\frac{dy}{dx}$

4 $\frac{dy}{dx}$ + 2(2) (1) = -4 $\frac{dy}{dx}$  →   ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (2, 1)}$= -$\frac{1}{2}$

(17) e^{sin x} + e^{cos y} = e + 1, ($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$)

e^{sin x} cos x – e^{cos y} sin y $\frac{dy}{dx}$ = 0

$e^{\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}}$cos $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ – $e^{\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}}$ sin $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$$\frac{dy}{dx}$ = 0  →  ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \frac{\mathrm{\pi }}{2})}$= 0

(18)  $\sqrt[3]{x^2}$+ $\sqrt[3]{y^2}$ = 5, (8, 1)

$x^{\frac{2}{3}}$ + $y^{\frac{2}{3}}$ = 5

$\frac{2}{3}$ $x^{-\frac{1}{3}}$ + $\frac{2}{3}$ $y^{-\frac{1}{3}}$ $\frac{dy}{dx}$ = 0

$\frac{2}{3}$($\frac{1}{2}$) + $\frac{2}{3}$(1) $\frac{dy}{dx}$ = 0   →  ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (8, 1)}$= -$\frac{1}{2}$

أجد معادلة المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(19)  x² + xy + y² = 13 , (-4, 3)

2x + x $\frac{dy}{dx}$ + y + 2y $\frac{dy}{dx}$ = 0

-8 – 4 $\frac{dy}{dx}$ + 3 + 6 $\frac{dy}{dx}$ = 0

ميل المماس هو:

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (-4, 3)}$ = $\frac{5}{2}$

معادلة المماس هي:

y – 3 = $\frac{5}{2}$ (x + 4) →  y = $\frac{5}{2}$ x + 13

(20)  x + y – 1 = ln (x² + y²) , (1, 0)

1 + $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{2x + 2y {\displaystyle \frac{dy}{dx}} }{x^2 + y^2}$

1 + $\frac{dy}{dx}$ = 2  → ${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (1, 0)}$ = 1

معادلة المماس هي:

y – 0 = 1(x - 1) →  y =  x - 1

أجد $\frac{{\mathit{d}}^{\mathit{2}}\mathit{y}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}}$ لكلٍّ ممّا يأتي:

(21)  x + y = sin y

1 + $\frac{dy}{dx}$ = cos y $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{1}{-1 + \cos y}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ = $\frac{\sin y {\displaystyle \frac{dy}{dx}}}{{(-1 + \cos y)}^2}$ = $\frac{\sin y ({\displaystyle \frac{1}{-1 + \cos y})}}{{(-1 + \cos y)}^2}$ = $\frac{\sin y }{{(-1 + \cos y)}^3}$

(22)  4y³ = 6x² + 1

12y² $\frac{dy}{dx}$ = 12x

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{x}{y^2}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ = $\frac{y^2 - 2xy {\displaystyle \frac{dy}{dx}}}{y^4}$ = $\frac{y - 2x ({\displaystyle \frac{x}{y^2})}}{y^3}$ = $\frac{y^3 - 2x^2 }{y^5}$

(23)  xy + e^y = e

x $\frac{dy}{dx}$ + y + e^y $\frac{dy}{dx}$ = 0

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{-y}{x + e^y}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ = $\frac{(x + e^y) (-{\displaystyle \frac{dy}{dx}}) + y (1 + e^y {\displaystyle \frac{dy}{dx}})}{{(x + e^y)}^2}$

         = $\frac{(x + e^y) \left({\displaystyle \frac{y}{x + e^y}}\right) + y (1 + e^y \frac{-y}{x + e^y})}{{(x + e^y)}^2}$

         = $\frac{(x + e^y) \left(y\right) + y (x + e^y - y{e}^y)}{{(x + e^y)}^3}$

         = $\frac{2xy +\hspace{0.17em}2y{e}^y - y^2{e}^y }{{(x + e^y)}^3}$

(24) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة: (x – 6)(y + 4) عند النقطة (7, -2).

$\begin{array}{rl}& (x-6)(y+4)=2\\ & (x-6)\frac{dy}{dx}+(y+4)=0\\ & (7-6)\frac{dy}{dx}+(-2+4)={0\to \frac{dy}{dx}|}_{(7,-2)}=-2\end{array}$

إذن ميل العمودي على المماس هو: $\frac{1}{2}$

معادلة العمودي على المماس هي:

$y+2=\frac{1}{2}(x-7)\to y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{2}$

(25) أثبت أنّ لمنحنى العلاقة: 3x² + 2xy + y² = 6 مماسين أفقيين، ثم أجد إحداثيي نقطتي التماس.

$\begin{array}{rl}& 3x^2+2xy+y^2=6\\ & 6x+2x\frac{dy}{dx}+2y+2y\frac{dy}{dx}=0\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{-3x-y}{x+y}\\ & \frac{dy}{dx}=0\to \frac{-3x-y}{x+y}=0\to -3x-y=0\to y=-3x\\ & 3x^2+2x(-3x)+(-3x{)}^2=6\to 6x^2=6\to x=\pm 1\end{array}$

إذن للمنحنى مماسان أفقيان عند النقطتين (-1, 3) ، (1, -3).

(26) أجد إحداثيي نقطة على المنحنى: x + y² = 1 بحيث يكون عندها مماس المنحنى موازياً للمستقيم: x + 2y = 0 .

$\begin{array}{rl}& x+y^2=1\\ & 1+2y\frac{dy}{dx}=0\to \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{2y}\end{array}$

ميل المستقيم:

$\begin{array}{rl}\frac{-1}{2y}=-\frac{1}{2}& \to y=1\\ & \to x+(1{)}^2=1\to x=0\end{array}$

النقطة المطلوبة هي (0, 1)

(27) أجد إحداثيي نقطة (نقاط) على المنحنى: y³ = x² بحيث يكون عندها مماس المنحنى عمودياً على المستقيم: y + 3x = 0 .

$\begin{array}{rl}& y^3=x^2\\ & 3y^2\frac{dy}{dx}=2x\to \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2},y\ne 0\end{array}$

ميل المستقيم: y + 3x – 5 = 0 هو -3 إذن ميل العمودي عليه يساوي: $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}& \frac{2x}{3y^2}=\frac{1}{3}\to 2x=y^2\to x=\frac{1}{2}{y}^2\\ & y^3=x^2\to y^3=\frac{1}{4}{y}^4\to 1=\frac{1}{4}y\to y=4\\ & \to x=\frac{1}{2}(4{)}^2\to x=8\end{array}$

النقطة المطلوبة هي (8, 4)

(28) إذا كان: $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=10$ ، حيث: $x\ne y\ne 0$ ، فأثبت أنّ $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ .

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=10,x\ne 0,y\ne 0\\ & \frac{\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}}{2\sqrt{\frac{x}{y}}}+\frac{\frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^2}}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}=0\to \frac{y-x\frac{dy}{dx}}{2y^2\sqrt{\frac{x}{y}}}=\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{2x^2\sqrt{\frac{y}{x}}}\\ & \to (y-x\frac{dy}{dx})\left(x^2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)=(y-x\frac{dy}{dx})\left(y^2\sqrt{\frac{x}{y}}\right)\\ & x^{2}y\sqrt{\frac{y}{x}}-x^3\sqrt{\frac{y}{x}\frac{dy}{dx}}=y^3\sqrt{\frac{x}{y}}-x{y}^2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}}\\ & (x{y}^2\sqrt{\frac{x}{y}}-x^3\sqrt{\frac{y}{x}})\frac{dy}{dx}=y^3\sqrt{\frac{x}{y}}-x^{2}y\sqrt{\frac{y}{x}}\\ & \to \frac{dy}{dx}=\frac{y^3\sqrt{\frac{x}{y}}-x^{2}y\sqrt{\frac{y}{x}}}{x{y}^2\sqrt{\frac{x}{y}}-x^3\sqrt{\frac{y}{x}}}=\frac{y(y^2\sqrt{\frac{x}{y}}-x^2\sqrt{\frac{y}{x}})}{x(y^2\sqrt{\frac{x}{y}}-x^2\sqrt{\frac{y}{x}})}=\frac{y}{x}\end{array}$

يمكن اختصار العامل المشترك من البسط والمقام؛ لأنه لا يساوي صفراً إلا إذا كان x = y وهذا لا يستق مع العلاقة الأصلية.