مسألة اليوم

المعادلات التفاضلية

تتغير درجة حرارة سائل كيميائي بارد، بعد وضعه في غرفة دافئة، بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{dA}{dt}=2(20-A)$، حيث $A$ درجة حرارة السائل بمقياس سيلسيوس، و$t$ الزمن بالساعات:

(1) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد درجة حرارة السائل بعد $t$ ساعة، علماً بأن درجة حرارته عند وضعه في الغرفة هي $5^{\circ }\mathrm{C}$.

$\begin{array}{rl}& \frac{dA}{dt}=2(20-A)\\ & \int \frac{dA}{20-A}=\int 2dt\\ & -\ln |20-A|=2t+K\\ & -\ln 15=0+K\Rightarrow K=-\ln 15\\ & \Rightarrow -\ln |20-A|=2t-\ln 15\\ & \Rightarrow \ln \left|\frac{15}{20-A}\right|=2t\end{array}$

إذن، يمكن نمذدجة درجة الحرارة C بعد t ساعة بالعلاقة:

$\ln \left|\frac{15}{20-A}\right|=2t$

(2) بعد كم ساعة تصبح درجة حرارة السائل ${18}^{\circ }\mathrm{C}$؟ 

نعوض $A=18$ في العلاقة $\ln \left|\frac{15}{20-A}\right|=2t$ فينتج:

$\ln \left|\frac{15}{20-18}\right|=2t\Rightarrow t=\frac{1}{2}\ln \frac{15}{2}=\frac{\ln 15-\ln 2}{2}\approx 1$

إذن، تصبح درجة حرارة السائل ${18}^{\circ }\mathrm{C}$ بعد مرور ساعة واحدة تقريباً بعد وضعه في الغرفة.