أتحقق من فهمي

المعادلات التفاضلية

المعادلات التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (92):

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية: ${\mathit{y}}^{\mathbf{\prime \prime }}\mathbf{-}\mathbf{4}{\mathit{y}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}$ في كل مما يأتي:

$y=4e^x+5e^{3x}$ (a)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=4e^x+15e^{3x}\\ & y^{\prime \prime }=4e^x+45e^{3x}\\ & y^{\prime \prime }-4y^{\mathrm{\prime }}+3y=4e^x+45e^{3x}-4(4e^x+15e^{3x})+3(4e^x+5e^{3x})=0\end{array}$

إذن $y=4e^x+5e^{3x}$ حل للمعادلة التفاضلية $y^{\prime \prime }-4y^{\mathrm{\prime }}+3y=0$

$y=\sin x$ (b)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=\cos x\\ & y^{\prime \prime }=-\sin x\\ & y^{\prime \prime }-4y^{\mathrm{\prime }}+3y=-\sin x-4\cos x+3\sin x=2\sin x-4\cos x\ne 0\end{array}$

إذن $y=\sin x$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{\prime \prime }-4y^{\mathrm{\prime }}+3y=0$

الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (94):

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx}=5{\sec }^{2}x-\frac{3}{2}\sqrt{x}$، ثم أجد الحل الخاص لها الذي يحقق النقطة (0,7).

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=5{\sec }^{2}x-\frac{3}{2}\sqrt{x}⟹dy=(5{\sec }^{2}x-\frac{3}{2}\sqrt{x})dx\\ & \int dy=\int (5{\sec }^{2}x-\frac{3}{2}\sqrt{x})dx\end{array}$

الحل العام لهذه المعادلة هو:

$y=5\tan x-x^{\frac{3}{2}}+C$

لإيجاد الحل الخاص نعوض النقطة (0,7) في الحل العام:

$7=0-0+C\Rightarrow C=7$

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة (0,7) هو:

$y=5\tan x-x^{\frac{3}{2}}++7$

حل المعادلات التفاضلية بفصل المتغيرات

أتحقق من فهمي صفحة (96):

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y^4}$ (a)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y^4}\Rightarrow 2xdx=y^{4}dy\\ & \Rightarrow \int 2xdx=\int y^{4}dy\Rightarrow \frac{1}{5}{y}^5=x^2+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=2x-x{e}^y$ (b)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=2x-x{e}^y\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x(2-e^y)\\ & \Rightarrow \frac{dy}{2-e^y}=xdx\\ & \Rightarrow \int xdx=\int \frac{1}{2-e^y}\times \frac{e^{-y}}{e^{-y}}dy\\ & \Rightarrow \int xdx=-\frac{1}{2}\int \frac{-2e^{-y}}{2e^{-y}-1}dy\\ & \Rightarrow \frac{x^2}{2}=-\frac{1}{2}\ln |2e^{-y}-1|+C\Rightarrow x^2=-\ln |2e^{-y}-1|+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x\sin x}{y}$ (c)

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}=\frac{x\sin x}{y}\Rightarrow ydy& =x\sin xdx\\ & \Rightarrow \int ydy=\int x\sin xdx\end{array}$

نجد $\int x\sin xdx$ بالأجزاء:

$\begin{array}{rl}& u=xdv=\sin xdx\\ & du=dxv=-\cos x\\ & \Rightarrow \int ydy=\int x\sin xdx\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}{y}^2=-x\cos x-\int -\cos xdx\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}{y}^2=-x\cos x+\sin x+C\end{array}$

${\sin }^{2}x\frac{dy}{dx}=y^2{\cos }^{2}x$ (d)

$\begin{array}{rl}& {\sin }^{2}x\frac{dy}{dx}=y^2{\cos }^{2}x\\ & {\sin }^{2}xdy=y^2{\cos }^{2}xdx\\ & \frac{dy}{y^2}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}dx\Rightarrow \int y^{-2}dy=\int {\cot }^{2}xdx\\ & \int y^{-2}dy=\int ({\csc }^{2}x-1)dx\\ & \Rightarrow \frac{-1}{y}=-\cot x-x+C\Rightarrow \frac{1}{y}=x+\cot x+C\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (98):

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل معادلة تفاضلية مما يأتي:

$\frac{dy}{dx}=x{y}^2{e}^{2x},y\left(0\right)=1$ (a)

$\begin{array}{rl}& dy=x{y}^2{e}^{2x}dx\\ & \int \frac{dy}{y^2}=\int x{e}^{2x}dx\end{array}$

نجد $\int x{e}^{2x}dx$ بالأجزاء:

$\begin{array}{rl}& u=xdv=e^{2x}dx\\ & du=dxv=\frac{1}{2}{e}^{2x}\\ & \Rightarrow \int \frac{dy}{y^2}=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx\end{array}$

الحل العام هو:

$\Rightarrow -\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$

بتعويض (0,1):

$-1=-\frac{1}{4}+C\Rightarrow C=-\frac{3}{4}$

الحل الخاص هو:

$-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}-\frac{3}{4}$

$\frac{dy}{dx}=y\cos x,y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ (b)

$\frac{dy}{y}=\cos xdx$

الحل العام هو: 

$\int \frac{dy}{y}=\int \cos xdx\Rightarrow \ln \left|y\right|=\sin x+C$

بتعويض $(\frac{\pi }{2},1)$

$0=1+C\Rightarrow C=-1$

الحل الخاص:

$\ln \left|y\right|=\sin x-1$

المعادلات التفاضلية والحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (100):

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية: $\frac{ds}{dt}=st\sqrt{t+1}$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$s$ موقع الجسيم بالأمتار. أجد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة، علما بأن $s\left(0\right)=1$.

$\begin{array}{rl}& \frac{ds}{dt}=st\sqrt{t+1}\Rightarrow \frac{ds}{s}=t\sqrt{t+1}dt\\ & \int \frac{ds}{s}=\int t\sqrt{t+1}dt\\ & u=t+1\Rightarrow du=dt,t=u-1\\ & \int t\sqrt{t+1}dt=\int (u-1)\sqrt{u}du=\int (u-1)u^{\frac{1}{2}}du=\int (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du\\ & =\frac{2}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{2}{5}(t+1{)}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(t+1{)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$

الموقع $bbb$ لا يمكن أن يكون 0 لأن $\ln 0$ غير معرف ولا يمكن أن يكون سالباً لأن $s\left(0\right)=1$ واقتران الموقع متصل، ولذا يمكننا أن نحذف رمز القيمة المطلقة وتعتبر $\ln \left|s\right|=\ln s$ بتعريض $s=1$ عندما $t=0$ ينتج:

$\begin{array}{rl}& 0=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+C\Rightarrow C=\frac{4}{15}\\ & \Rightarrow \ln s=\frac{2}{5}(t+1{)}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(t+1{)}^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{15}\end{array}$

نعوض $t=3$ لنجد s الموقع المطلوب:

$\ln s\left(3\right)=\frac{64}{5}-\frac{16}{3}+\frac{4}{15}=\frac{116}{15}\Rightarrow s\left(3\right)=e^{\frac{116}{15}}$

أتحقق من فهمي صفحة (102):

غزلان: يمكن نمذجة معدل تغير عدد الغزلان فـي إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: $\frac{\mathbf{d}\mathbf{P}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{20000}}\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{1000}\mathbf{-}\mathit{P}\mathbf{)}$، حيث $\mathit{P}$ عدد الغزلان في الغابة بعد $\mathit{t}$ سنة من بدء دراسة عليها:

(a) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد سنة من بدء الدراسة، علماً بأن عددها عند بدء الدراسة هو 2500 غزال.

$\begin{array}{rl}& \frac{dP}{dt}=\frac{1}{20000}p(1000-P)\\ & \int \frac{dP}{P(1000-P)}=\int \frac{1}{20000}dt\end{array}$

بتجزئة الكسر داخل التكامل في الطرف الأيسر:

$\int (\frac{\frac{1}{1000}}{P}+\frac{\frac{1}{1000}}{1000-P})dP=\int \frac{1}{20000}dt$

حل عام:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1000}\ln \left|P\right|-\frac{1}{1000}\ln |1000-P|=\frac{1}{20000}t+C\\ & 20\ln \left|P\right|-20\ln |1000-P|=t+C\\ & 20\ln \left|\frac{P}{1000-P}\right|=t+C\end{array}$

بتعويض P=2500 عند t=0 ينتج:

$\begin{array}{rl}& C=20\ln \frac{2500}{1500}=20\ln \frac{5}{3}\\ & \Rightarrow 20\ln \left|\frac{P}{1000-P}\right|=t+20\ln \frac{5}{3}\end{array}$

(b) بعد كم سنة يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟

نعويض P=1800 في المعادلة الأخيرة:

$\Rightarrow 20\ln \left(\frac{9}{4}\right)=t+20\ln \frac{5}{3}\Rightarrow t=20\ln \frac{27}{20}\approx 6$

إذن، يصبح عدد الغزلان 1800 غزال بعد 6 سنوات تقريباً من بدء الدراسة.