مهارات التفكير العليا

المعادلات التفاضلية

تحد: أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^2}-xy-\frac{1}{y^2}+y$ (33)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y^2}+y-xy\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^2}(x-1)-y(x-1)=(x-1)(\frac{1}{y^2}-y)\\ & \Rightarrow \frac{dy}{\frac{1}{y^2}-y}=(x-1)dx\\ & \int \frac{dy}{\frac{1}{y^2}-y}=\int (x-1)dx\\ & \int \frac{y^2}{1-y^3}dy=\int (x-1)dx\\ & \frac{-1}{3}\int \frac{-3y^2}{1-y^3}dy=\int (x-1)dx\\ & \frac{-1}{3}\ln |1-y^3|=\frac{1}{2}{x}^2-x+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y-1}-\frac{2x}{3y-2}$ (34)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=x(\frac{1}{2y-1}-\frac{2}{3y-2})=x\left(\frac{3y-2-4y+2}{6y^2-7y+2}\right)=x\left(\frac{-y}{6y^2-7y+2}\right)\\ & \Rightarrow \frac{6y^2-7y+2}{-y}dy=xdx\\ & \int \frac{6y^2-7y+2}{-y}dy=\int xdx\\ & \int (-6y+7-\frac{2}{y})dy=\int xdx\\ & -3y^2+7y-2\ln \left|y\right|=\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=1+{\tan }^{2}x+{\tan }^{2}y+{\tan }^{2}x{\tan }^{2}y$ (35)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=1+{\tan }^{2}x+{\tan }^{2}y+{\tan }^{2}x{\tan }^{2}y\\ & ={\sec }^{2}x+{\tan }^{2}y(1+{\tan }^{2}x)\\ & ={\sec }^{2}x+{\tan }^{2}y{\sec }^{2}x\\ & ={\sec }^{2}x(1+{\tan }^{2}y)\\ & ={\sec }^{2}x{\sec }^{2}y\\ & \frac{dy}{{\sec }^{2}y}={\sec }^{2}xdx\\ & \int \frac{dy}{{\sec }^{2}y}=\int {\sec }^{2}xdx\\ & \int {\cos }^{2}ydy=\int {\sec }^{2}xdx\\ & \int \frac{1}{2}(1+\cos 2y)dy=\int {\sec }^{2}xdx\\ & \frac{1}{2}(y+\frac{1}{2}\sin 2y)=\tan x+C\end{array}$

تبرير: يمكن نمذجة معدل تحلل مادة مشعة بالمعادلة التفاضلية: $\frac{\mathbf{d}\mathbf{x}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\lambda }\mathit{x}$، حيث $\mathit{x}$ الكتلة المتبقية من المادة المشعة بالمليغرام بعد $\mathit{t}$ يوماً، و $\mathit{\lambda }\mathbf{>}\mathbf{0}$:

(36) أثبت أنه يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية في صورة: $x=a{e}^{-\lambda t}$، حيث $a$ ثابت، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=-\lambda x\\ & \int \frac{dx}{x}=\int -\lambda dt\\ & \ln \left|x\right|=-\lambda t+C\end{array}$

لكن الكمية x لا تكون سالبة، فتحذف رمز القيمة المطلقة.

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \ln x=-\lambda t+C\\ & x=e^{-\lambda t+C}=e^{-\lambda t}\times e^{c \left(a \mathrm{ثابت} \mathrm{ليكن} e^C\right)}\\ & \Rightarrow x=a{e}^{-\lambda t}\end{array}$

(37) إذا كان عمر النصف للمادة المشعة هو الوقت اللازم لتحلل نصف هذه المادة، و$a$ كتلة المادة الابتدائية، فأثبت أنّ عمر النصف للمادة المشعة هو $\frac{\ln 2}{\lambda }$، مبرراً إجابتي.

الكمية الابتدائية: $x\left(0\right)=a$

المطلوب: حساب الزمن الذي يكون عنده $x=\frac{1}{2}a$، نعوض:

$\frac{1}{2}a=a{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \frac{1}{2}=e^{-\lambda t}\Rightarrow 2=e^{\lambda t}\Rightarrow \lambda t=\ln 2\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{\lambda }$

تبرير: تمثل المعادلة التفاضلية: $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{3}\mathbf{y}}$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما:

(38) أجد قيمة $n$ التي تجعل العلاقة: $x^2+n{y}^2=a$ حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، حيث $a$ ثابت اختياري، مبرراً إجابتي.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{3y}$

لكي تكون العلاقة $x^2+n{y}^2=a$ حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، يجب أن تحققها.

نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للمتغير x 

$2x+2ny\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{ny}$

نعوض المشتقة في المعادلة التفاضلية:

$\begin{array}{rl}& -\frac{x}{ny}=-\frac{2x}{3y}\Rightarrow 2nxy=3xy\\ & \Rightarrow n=\frac{3xy}{2xy}=\frac{3}{2}\end{array}$

(39) أجد إحداثيي نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$ إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (5,4)، مبرراً إجابتي.

النقطة (5,4) تحقق المعادلة:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 25+\frac{3}{2}\left(16\right)=a\Rightarrow a=49\\ & \Rightarrow x^2+\frac{3}{2}{y}^2=49\end{array}$

لإيجاد الإحداثي x لنقاط التقاطع منحنى العلاقة مع المحور x نضع y=0 في معادلتها

$\Rightarrow x^2=0+49=49\Rightarrow x=\pm 7$

إحداثيات نقطتي تقاطع العلاقة $x^2+\frac{3}{2}{y}^2=49$ مع المحور x هما $(7,0),(-7,0)$