أتدرب وأحل المسائل

المعادلات التفاضلية

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية في كل مما يأتي:

$y=\sqrt{x};x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$ (1)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=x\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{x}\ne 0\end{array}$

إذن، $y=\sqrt{x}$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$

$y=x\ln x-5x+7;y^{\prime \prime }-\frac{1}{x}=0$ (2)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=x\left(\frac{1}{x}\right)+\ln x-5=\ln x-4\\ & y^{\prime \prime }=\frac{1}{x}\\ & y^{\prime \prime }-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0\end{array}$

إذن، $y=x\ln x-5x+7$ هو حل للمعادلة التفاضلية $y^{\prime \prime }-\frac{1}{x}=0$

$y=\tan x;y^{\mathrm{\prime }}+y^2=1$ (3)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}={\sec }^{2}x\\ & y^{\mathrm{\prime }}+y^2={\sec }^{2}x+{\tan }^{2}x=1+2{\tan }^{2}x\ne 1\end{array}$

إذن، $y=\tan x$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{\mathrm{\prime }}+y^2=1$

$y=e^x+3x{e}^x;y^{\prime \prime }-2y^{\mathrm{\prime }}+y=0$ (4)

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=e^x+3x{e}^x+3e^x=4e^x+3x{e}^x\\ & y^{\prime \prime }=4e^x+3x{e}^x+3e^x=7e^x+3x{e}^x\\ & y^{\prime \prime }-2y^{\mathrm{\prime }}+y=7e^x+3x{e}^x-8e^x-6x{e}^x+e^x+3x{e}^x=0\end{array}$

إذن، $y=e^x+3x{e}^x$ هو حل للمعادلة التفاضلية $y^{\prime \prime }-2y^{\mathrm{\prime }}+y=0$

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{dy}{dx}=3x\sqrt{y}$ (5)

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}=3x\sqrt{y}& \\ \frac{dy}{\sqrt{y}}=3xdx& \Rightarrow \int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int 3xdx\\ & \Rightarrow 2y^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}{x}^2+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3x}{y^2}=0$ (6)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=-\frac{3x}{y^2}\Rightarrow y^{2}dy=-3xdx\\ & \int y^{2}dy=\int -3xdx\\ & \Rightarrow \frac{1}{3}{y}^3=-\frac{3}{2}{x}^2+C\end{array}$

  $\frac{dy}{dx}=\cos x\sin y$ (7)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=cosxsinydx\\ & \frac{dy}{siny}=cosxdx\\ & \Rightarrow \int cscydy=\int cosxdx\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int cscydy=\int cscy\times \frac{cscy+coty}{cscy+coty}dy\\ & =\int \frac{cs{c}^{2}y+cscycoty}{cscy+coty}dy\\ & =-\int \frac{-(cs{c}^{2}y+cscycoty)}{cscy+coty}dy=-ln|cscy+coty|\\ & \Rightarrow -ln|cscy+coty|=sinx+C\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{(x^2+1)}^2}$ (8)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& dy=\frac{x}{{(x^2+1)}^2}dx\\ & \int dy=\int \frac{x}{{(x^2+1)}^2}dx\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=x^2+1\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \begin{array}{rl}\Rightarrow \int \frac{x}{{(x^2+1)}^2}dx=\int \frac{x}{u^2}\frac{du}{2x}& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2}du\\ & =-\frac{1}{2u}+C=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C\end{array}\\ & \Rightarrow \int dy=\int \frac{x}{{(x^2+1)}^2}dx\Rightarrow y=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=x{e}^{x+y}$ (9)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=x{e}^x{e}^y\Rightarrow \frac{dy}{e^y}=x{e}^{x}dx\\ & \int \frac{dy}{e^y}=\int x{e}^{x}dx\\ & \Rightarrow \int e^{-y}dy=\int x{e}^{x}dx\\ & \Rightarrow -e^{-y}=\int x{e}^{x}dx \left(\mathrm{الأجزاء} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=xdv=e^{x}dx\\ & du=dxv=e^x\\ & \Rightarrow \int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C\\ & \Rightarrow -e^{-y}=x{e}^x-e^x+C\end{array} \end{gathered}$$

$e^{-1/x}\frac{dy}{dx}=x^{-2}{y}^2$ (10)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{y^2}=\frac{x^{-2}}{e^{-\frac{1}{x}}}dx=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx\\ & \int y^{-2}dy=\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx\\ & \Rightarrow -y^{-1}=\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx \left(\mathrm{التعويض} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=\frac{1}{x}\Rightarrow \frac{du}{dx}=-\frac{1}{x^2}\Rightarrow dx=-x^{2}du\\ & \Rightarrow \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx=\int \frac{e^u}{x^2}\times -x^{2}du=\int -e^{u}du=-e^u+C=-e^{\frac{1}{x}}+C\\ & -y^{-1}=\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx\Rightarrow \frac{1}{y}=e^{\frac{1}{x}}+C\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x-3}$ (11)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{y}=\frac{x}{x-3}dx\\ & \int \frac{dy}{y}=\int \frac{x}{x-3}dx\\ & \int \frac{dy}{y}=\int (1+\frac{3}{x-3})dx\\ & \ln \left|y\right|=x+3\ln |x-3|+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2{\sin }^{2}y}{x^3+2}$ (12)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{{\sin }^{2}y}=\frac{3x^2}{(x^3+2)}dx\\ & \int \frac{dy}{{\sin }^{2}y}=\int \frac{3x^2}{(x^3+2)}dx\\ & \int {\csc }^{2}ydy=\int \frac{3x^2}{x^3+2}dx\\ & -\cot y=\ln |x^3+2|+C\end{array}$

 $\frac{dy}{dx}=y^3\ln x$ (13)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{dy}}{{\mathrm{y}}^3}=\ln \mathrm{xdx}\\ & \int \frac{\mathrm{dy}}{{\mathrm{y}}^3}=\int \ln \mathrm{xdx} \left(\mathrm{الأجزاء} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{u}=\ln \mathrm{x}\mathrm{dv}=\mathrm{dx}\\ & \mathrm{du}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\mathrm{v}=\mathrm{x}\\ & \int \ln \mathrm{xdx}=\mathrm{xln}\mathrm{x}-\int \mathrm{x}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=\mathrm{xln}\mathrm{x}-\mathrm{x}+\mathrm{C}\\ & \Rightarrow \int {\mathrm{y}}^{-3}\mathrm{dy}=\int \ln \mathrm{xdx}\Rightarrow -\frac{1}{2}{\mathrm{y}}^{-2}=\mathrm{xln}\mathrm{x}-\mathrm{x}+\mathrm{C}\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=2x^3(y^2-1)$ (14)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{y^2-1}=2x^{3}dx\\ & \int \frac{dy}{y^2-1}=\int 2x^{3}dx \left(\mathrm{الجزئية} \mathrm{الكسور} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{y^2-1}=\frac{1}{(y-1)(y+1)}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}\\ & A(y+1)+B(y-1)=1\\ & y=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}\\ & y=-1\Rightarrow B=-\frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \frac{1}{y^2-1}=\frac{\frac{1}{2}}{y-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{y+1}\\ & \Rightarrow \int \frac{dy}{y^2-1}=\int 2x^{3}dx\Rightarrow \int (\frac{\frac{1}{2}}{y-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{y+1})dy=\int 2x^{3}dx\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}ln|y-1|-\frac{1}{2}ln|y+1|=\frac{1}{2}{x}^4+C\end{array} \end{gathered}$$

$y\frac{dy}{dx}={\sin }^{3}x{\cos }^{2}x$ (15)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& ydy=si{n}^{3}xco{s}^{2}xdx\\ & \int ydy=\int si{n}^{3}xco{s}^{2}xdx \left(\mathrm{التعويض} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=cosx\Rightarrow dx=\frac{du}{-sinx}\\ & \int si{n}^{3}xco{s}^{2}xdx=\int si{n}^{3}x{u}^2\frac{du}{-sinx}\\ & =\int -si{n}^{2}x{u}^{2}du=\int (-1+co{s}^{2}x)u^{2}du\\ & =\int (-1+u^2)u^{2}du=\int (u^4-u^2)du\\ & =\frac{1}{5}{u}^5-\frac{1}{3}{u}^3+C=\frac{1}{5}co{s}^{5}x-\frac{1}{3}co{s}^{3}x+C\\ & \Rightarrow \int ydy=\int si{n}^{3}xco{s}^{2}xdx\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{5}co{s}^{5}x-\frac{1}{3}co{s}^{3}x+C\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=\sqrt{xy}$ (16)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{\sqrt{y}}=\sqrt{x}dx\\ & \int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int \sqrt{x}dx\\ & \int y^{-\frac{1}{2}}dy=\int x^{\frac{1}{2}}dx\\ & 2y^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=y\ln \sqrt{x}$ (17)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{y}=ln{x}^{\frac{1}{2}}dx\\ & \int \frac{dy}{y}=\int ln{x}^{\frac{1}{2}}dx\\ & \int \frac{dy}{y}=\int \frac{1}{2}lnxdx \left(\mathrm{الأجزاء} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{lr}u=lnx& dv=dx\\ du=\frac{dx}{x}& v=x\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \int lnxdx=xlnx-\int x\frac{dx}{x}=xlnx-x+C\\ & \Rightarrow \int \frac{1}{2}lnxdx=\frac{1}{2}xlnx-\frac{1}{2}x+C\\ & \int \frac{dy}{y}=\int \frac{1}{2}lnxdx\Rightarrow ln\left|y\right|=\frac{1}{2}xlnx-\frac{1}{2}x+C\end{array} \end{gathered}$$

$(2x+1)(x+2)\frac{dy}{dx}=-3(y-2)$ (18)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (2x+1)(x+2)dy=-3(y-2)dx\\ & \int -\frac{1}{3}\frac{dy}{y-2}=\int \frac{dx}{(2x+1)(x+2)} \left(\mathrm{الجزئية} \mathrm{الكسور} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{(2x+1)(x+2)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+2}\\ & A(x+2)+B(2x+1)=1\\ & x=-\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{2}{3}\\ & x=-2\Rightarrow B=-\frac{1}{3}\\ & \Rightarrow \frac{1}{(2x+1)(x+2)}=\frac{\frac{2}{3}}{2x+1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+2}\\ & \Rightarrow \int -\frac{1}{3}\frac{dy}{y-2}=\int \frac{dx}{(2x+1)(x+2)}\\ & \Rightarrow -\frac{1}{3}ln|y-2|=\frac{1}{3}ln|2x+1|-\frac{1}{3}ln|x+2|+C\\ & \Rightarrow -ln|y-2|=ln|2x+1|-ln|x+2|+C\\ & \Rightarrow -ln|y-2|=ln\left|\frac{2x+1}{x+2}\right|+C\end{array} \end{gathered}$$

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{dy}{dx}=y^2\sqrt{4-x};y\left(1\right)=2$ (19)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=y^2\sqrt{4-x}\\ & \frac{dy}{y^2}=\sqrt{4-x}dx\\ & \int \frac{dy}{y^2}=\int \sqrt{4-x}dx\\ & \int y^{-2}dy=\int (4-x{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & -\frac{1}{y}=-\frac{2}{3}(4-x{)}^{\frac{3}{2}}+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}=-2\sqrt{3}+C\Rightarrow C=2\sqrt{3}-\frac{1}{2} \left((1,2) \mathrm{بتعويض}\right)\\ & -\frac{1}{y}=-\frac{2}{3}(4-x{)}^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{3}-\frac{1}{2} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\sin }^{2}x}{y};y\left(0\right)=1$ (20)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{2{\sin }^{2}x}{y}\\ & ydy=2{\sin }^{2}xdx\\ & \int ydy=\int 2{\sin }^{2}xdx\\ & \int ydy=\int (1-\cos 2x)dx\\ & \frac{1}{2}{y}^2=x-\frac{1}{2}\sin 2x+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}=0+C\Rightarrow C=\frac{1}{2} \left(\left(0,1\right) \mathrm{يتعويض}\right)\\ & \frac{1}{2}{y}^2=x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=2{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y;y\left(0\right)=\frac{\pi }{4}$ (21)

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=2{\cos }^{2}x{\cos }^{2}y\\ & \frac{dy}{{\cos }^{2}y}=2{\cos }^{2}xdx\\ & \int \frac{dy}{{\cos }^{2}y}=\int 2{\cos }^{2}xdx\\ & \int {\sec }^{2}ydy=\int (1+\cos 2x)dx\\ & \tan y=x+\frac{1}{2}\sin 2x+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 1=0+0+C\left((0,\frac{\pi }{4}) \mathrm{بتعويض}\right)\\ & C=1\\ & \tan y=x+\frac{1}{2}\sin 2x+1 \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x{e}^{\sin x}}{e^y};y\left(\pi \right)=0$ (22)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{cosx{e}^{sinx}}{e^y}\\ & \int e^{y}dy=\int cosx{e}^{sinx}dx \left(\mathrm{التعويض} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u=sinx\Rightarrow \frac{du}{dx}=cosx\Rightarrow dx=\frac{du}{cosx}\\ & \begin{array}{rl}& \int cosx{e}^{sinx}dx=\int cosx{e}^u\times \frac{du}{cosx}=\int e^{u}du=e^u+C\\ & =e^{sinx}+C\end{array}\\ & \Rightarrow \int e^{y}dy=\int cosx{e}^{sinx}dx\\ & e^y=e^{sinx}+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& e^0=e^0+C \left(\left(\mathrm{\pi },0\right) \mathrm{بتعويض}\right)\\ & \Rightarrow C=0\\ & e^y=e^{sinx} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=\frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)};y\left(3\right)=8$ (23)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)}\\ & \int dy=\int \frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)}dx \left(\mathrm{الجزئية} \mathrm{الكسور} \mathrm{نستخدم}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)}=\frac{A}{3x-8}+\frac{B}{x-2}\\ & A(x-2)+B(3x-8)=8x-18\\ & x=2\Rightarrow B=1\\ & x=\frac{8}{3}\Rightarrow A=5\\ & \Rightarrow \frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)}=\frac{5}{3x-8}+\frac{1}{x-2}\\ & \Rightarrow \int dy=\int \frac{8x-18}{(3x-8)(x-2)}dx\Rightarrow y=\int (\frac{5}{3x-8}+\frac{1}{x-2})dx\\ & \Rightarrow y=\frac{5}{3}ln|3x-8|+ln|x-2|+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 8=0+0+C\Rightarrow C=8 \left(\left(3,8\right) \mathrm{بتعويض}\right)\\ & y=\frac{5}{3}ln|3x-8|+ln|x-2|+8 \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy};y\left(e\right)=1$ (24)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy}\\ & \int ydy=\int \frac{dx}{x}\\ & \frac{1}{2}{y}^2=ln\left|x\right|+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{2}=1+C \left(\left(e,1\right) \mathrm{بتعويض}\right)\\ & \Rightarrow C=-\frac{1}{2}\end{array} \\ \frac{1}{z}{y}^z=ln\left|x\right|-\frac{1}{2} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right) \end{gathered}$$

(25) تتحرك سيارة في مسار مستقيم، ويعطى تسارعها بالمعادلة التفاضلية: $\frac{dv}{dt}=10-0.5v$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$v$ سـرعتها المتجهة بالمتر لكل ثانية، أجد السرعة المتجهة للسيارة بعد $t$ ثانية من بدء حركتها، علماً بأن السيارة تحركت من وضع السكون.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dv}{dt}=10-0.5v\\ & \frac{dv}{10-0.5v}=dt\\ & \int \frac{dv}{10-0.5v}=\int dt\\ & -2ln|10-0.5v|=t+C\Rightarrow ln|10-0.5v|=-\frac{t}{2}+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& ln10=0+C\Rightarrow C=ln10 \left(t=0,v=0 \mathrm{بتعويض}\right)\\ & \Rightarrow ln|10-0.5v|=-\frac{t}{2}+ln10\Rightarrow ln\left|\frac{10-0.5v}{10}\right|=-\frac{t}{2} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

إذن، يمكن نمذجة السرعة المتجهة للسيارة بعد t ثانية من بددء حركتها بالعلاقة الآتية:

$\ln \left|\frac{10-0.5v}{10}\right|=-\frac{t}{2}$

(26) ذئاب: يمكن نمذجة معدل تغير عدد الذئاب في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: $\frac{dN}{dt}=260-0.4N$، حيث $N$ عدد الذئاب في الغابة بعد $t$ سنة من بدء دراسة عليها. أجد عدد الذئاب في الغابة بعد 3 سنوات من بدء الدراسة، علماً بأن عددها عند بده الدراسة هو 300 ذئب.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dN}{dt}=260-0.4N=0.4(650-N)\\ & \frac{dN}{650-N}=0.4dt\\ & \int \frac{dN}{650-N}=\int 0.4dt\\ & -In|650-N|=0.4t+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -ln350=0+C\Rightarrow C=-ln350 \left(t=0,\mathrm{N}=300 \mathrm{نعوض}\right)\\ & \Rightarrow -ln|650-N|=0.4t-ln350\\ & \Rightarrow ln\left|\frac{350}{650-N}\right|=0.4t \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

لا يمكن أن يكون 650=N لأن 0 In غير معرف ولأن 300=N عندما 0=t والاقتران (N t متصل فلا يمكن أن يكون N أكبر من 650، ولذا فإن N>0 ويكون $|650-N|$ مسار لـ $650-N$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \ln \left|\frac{350}{650-N}\right|=\ln \left(\frac{350}{650-N}\right)=0.4t \left(N \mathrm{نجد} t=3 \mathrm{نعوض}\right) \\ \begin{array}{rl}& \ln \left(\frac{350}{650-N}\right)=1.2\\ & \Rightarrow \frac{350}{650-N}=e^{\frac{6}{5}}\Rightarrow \frac{650-N}{350}=e^{-\frac{6}{5}}\\ & N=650-350e^{-\frac{6}{5}}\approx 545\end{array} \end{gathered}$$

إذن، بعد ثلاث سنوات يكون عدد الذئاب في تلك الغابة 545 ذئباً نقريباً.

كرة: تنكم ش كرة، ويتغيّر نصف قطرها بمعدل يمكن نمذجتـه بالمعادلة التفاضلية: $\frac{\mathbf{d}\mathbf{r}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0075}{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$، حيث $\mathit{r}$ طول نصف قطر الكرة بالسنتيمتر، و$\mathit{t}$ الزمن بالثواني بعد بدء انكماش الكرة:

(27) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد طول نصف قطر الكرة بعد $t$ ثانية، علماً بأن طول نصف الكرة الابتدائي هو $20 cm$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dr}{dt}=-0.0075r^2\\ & \int -\frac{dr}{r^2}=\int 0.0075dt\\ & \frac{1}{r}=0.0075t+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{20}=0+C\Rightarrow C=\frac{1}{20} \left(t=0,\mathrm{r}=20 \mathrm{نعوض}\right)\\ & \frac{1}{r}=0.0075t+\frac{1}{20}\Rightarrow r=\frac{20}{1+0.15t} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(28) بعد كم ثانية يصبح طول نصف قطر الكرة $10 cm$؟

نضع r=10 في المعادلة الناتجة: 

$\begin{array}{rl}10=\frac{20}{1+0.15t}\Rightarrow 0.1=\frac{1+0.15t}{20}& \Rightarrow 2=1+0.15t\\ & \Rightarrow t=\frac{1}{0.15}\approx 6.67\mathrm{s}\end{array}$

إذن، يكون طول نصف قطر الكرة 10cm بعد 6.67 ثانية تقريباً بعد بدء انكماشها.

حشرات: يتغير عدد الحشرات في مجتمع للحشرات بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{\mathbf{d}\mathbf{n}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{}\mathit{t}\mathbf{)}$، حيث $\mathit{n}$ عدد الحشرات، و$\mathit{t}$ الزمن بالأسابيع بعد بدء ملاحظة الحشرات:

(29) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد $t$ أسبوعاً، علماً بأن عددها الابتدائي هو 400 حشرة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \int \frac{dn}{n}=\int 0.2(0.2-cost)dt\\ & lnn=0.2(0.2t-sint)+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& ln400=0+C\Rightarrow C=ln400 \left(t=0,n=400 \mathrm{نعوض}\right)\\ & lnn=0.2(0.2t-sint)+ln400\\ & \Rightarrow ln\frac{n}{400}=0.2(0.2t-sint)\Rightarrow n=400e^{0.2(0.2t-sint)} \left(\mathrm{الخاص} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(30) أجد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد 3 أسابيع.

نعوض t=3 في المعادلة الأخيرة: 

$\begin{array}{rl}& n=400e^{0.2(0.2t-sint)}\\ & =400e^{0.2(0.6-sin3)}\\ & \approx 400e^{0.12-0.028}\approx 400e^{0.092}\approx 439\end{array}$

إذن، بعد 3 أسابيع يكون عدد الحشرات 439 حشرة تقريباً.

(31) تمثل المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx}=y\cos x$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما، أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (0,1).

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=ycosx\\ & \int \frac{dy}{y}=\int cosxdx\\ & \Rightarrow ln\left|y\right|=sinx+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 0=0+C\Rightarrow C=0 \left(y=1,x=0 \mathrm{نعوض}\right)\\ & \Rightarrow ln\left|y\right|=sinx\\ & \Rightarrow y=e^{sinx}\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: منحنى الاقتران $y=-e^{sinx}$ لايمر بالنقطة (0,1).

(32) تمثل المعادلة التفاضلية: $x(x+1)\frac{dy}{dx}=y$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما، أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (1,3). 

$$\begin{gathered} \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x(x+1)} \left(\mathrm{الجزئية} \mathrm{الكسور} \mathrm{نستخدم}\right) \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\\ & A(x+1)+B\left(x\right)=1\\ & x=0\Rightarrow A=1\\ & x=-1\Rightarrow B=-1\\ & \Rightarrow \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\\ & \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x(x+1)}\Rightarrow \ln \left|y\right|=\int (\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1})dx\\ & \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|-\ln |x+1|+C \left(\mathrm{العام} \mathrm{الحل}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \ln 3=0-\ln 2+C\Rightarrow C=\ln 3+\ln 2=\ln 6 \left(y=3,x=1 \mathrm{نعوض}\right)\\ & \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|-\ln |x+1|+\ln 6\\ & \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|\frac{6x}{x+1}\right|\\ & \Rightarrow \left|y\right|=\left|\frac{6x}{x+1}\right|\Rightarrow y=\frac{6x}{x+1}\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: منحنى الاقتران $y=-\frac{6x}{x+1}$ لا يمر بالنقطة (1,3)